הזווית החיצונית במשולש

בכיתה ז’ למדתם שסכום הזוויות במשולש הוא $\displaystyle 180^{\circ}$. בעזרת זוויות בין ישרים מקבילים אפשר להראות למה.
נעביר דרך הקודקוד $\displaystyle A$ ישר $\displaystyle DE$ מקביל לצלע $\displaystyle BC$:

• $\displaystyle {\angle DAB}={\beta}$: אלה זוויות מתחלפות בין המקבילים $\displaystyle DE$ ו-$\displaystyle BC$.
• $\displaystyle {\angle EAC}={\gamma}$: גם אלה זוויות מתחלפות.
• שלוש הזוויות ליד $\displaystyle A$ – $\displaystyle \beta$, $\displaystyle \alpha$ ו-$\displaystyle \gamma$ – יחד יוצרות את הישר $\displaystyle DE$, ולכן סכומן $\displaystyle 180^{\circ}$.

אלה בדיוק שלוש הזוויות של המשולש: $\displaystyle {\alpha+\beta+\gamma}={180^{\circ}}$.

נאריך את הצלע $\displaystyle BC$ מעבר לקודקוד $\displaystyle C$, עד הנקודה $\displaystyle D$.

• $\displaystyle \delta$ היא זווית חיצונית של המשולש: הזווית בין הצלע $\displaystyle AC$ להמשך של הצלע $\displaystyle BC$.
• הזווית $\displaystyle \gamma$ של המשולש צמודה לה, ולכן $\displaystyle {\gamma+\delta}={180^{\circ}}$.
• שתי הזוויות האחרות של המשולש, $\displaystyle \alpha$ ו-$\displaystyle \beta$, הן הזוויות הפנימיות שאינן צמודות ל-$\displaystyle \delta$.

ליד כל קודקוד של המשולש יש זווית חיצונית.

זווית חיצונית של משולש שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה. בשרטוט שלמעלה:

גם $\displaystyle \delta$ וגם $\displaystyle \alpha+\beta$ משלימות את $\displaystyle \gamma$ ל-$\displaystyle 180^{\circ}$:

• $\displaystyle {\alpha+\beta+\gamma}={180^{\circ}}$, כי זה סכום הזוויות במשולש;
• $\displaystyle {\delta+\gamma}={180^{\circ}}$, כי $\displaystyle \delta$ ו-$\displaystyle \gamma$ צמודות.

לכן $\displaystyle {\delta}={180^{\circ}-\gamma}={\alpha+\beta}$.

במשולש $\displaystyle ABC$ נתון: $\displaystyle {\angle A}={50^{\circ}}$ ו-$\displaystyle {\angle B}={65^{\circ}}$.
נמצא את הזווית החיצונית $\displaystyle \angle ACD$ ואת הזווית $\displaystyle \angle ACB$.

• $\displaystyle {\angle ACD}={50^{\circ}+65^{\circ}}={115^{\circ}}$, לפי משפט הזווית החיצונית.
• $\displaystyle {\angle ACB}={180^{\circ}-115^{\circ}}={65^{\circ}}$, כי היא צמודה ל-$\displaystyle \angle ACD$.

במשולש $\displaystyle ABC$ הצלע $\displaystyle BC$ הוארכה מעבר ל-$\displaystyle C$ עד הנקודה $\displaystyle D$, כמו בשרטוט שלמעלה.
מצאו את הזווית המבוקשת, ונמקו.

$\displaystyle {\angle A}={40^{\circ}}$ ו-$\displaystyle {\angle B}={75^{\circ}}$. מצאו את $\displaystyle \angle ACD$.

$\displaystyle {\angle ACD}={130^{\circ}}$ ו-$\displaystyle {\angle A}={55^{\circ}}$. מצאו את $\displaystyle \angle B$.

$\displaystyle {\angle ACD}={100^{\circ}}$ ו-$\displaystyle {\angle A}={\angle B}$. מצאו את $\displaystyle \angle A$.

במשולש $\displaystyle ABC$ הזווית החיצונית ליד הקודקוד $\displaystyle C$ היא $\displaystyle 3x+5$ מעלות.
$\displaystyle {\angle A}={x+15}$ מעלות, ו-$\displaystyle {\angle B}={50^{\circ}}$.
כתבו משוואה ופתרו אותה.
מצאו את הזווית החיצונית ואת $\displaystyle \angle A$.

בשרטוט שתי זוויות חיצוניות של המשולש $\displaystyle ABC$: $\displaystyle {\angle ACD}={135^{\circ}}$ ו-$\displaystyle {\angle EBA}={120^{\circ}}$.
מצאו את $\displaystyle \angle A$, ונמקו.

בשרטוט זווית חיצונית אחת ליד כל קודקוד של המשולש $\displaystyle ABC$: $\displaystyle \delta$, $\displaystyle \varepsilon$ ו-$\displaystyle \varphi$.
הסבירו למה $\displaystyle {\delta+\varepsilon+\varphi}={360^{\circ}}$, בכל משולש.
רמז: כל זווית חיצונית והזווית של המשולש שצמודה לה – יחד $\displaystyle 180^{\circ}$.