משולש שווה שוקיים: המשפטים ההפוכים

משפט הפוך

במשפט הפוך, הנתון ומה שצריך להוכיח מחליפים מקומות.

המשפט: אם $\displaystyle {AB}={AC}$ , אז $\displaystyle {\angle B}={\angle C}$ .
המשפט ההפוך: אם $\displaystyle {\angle B}={\angle C}$ , אז $\displaystyle {AB}={AC}$ .

זהירות: משפט הפוך למשפט נכון אינו תמיד נכון. “אם המרובע הוא ריבוע, כל זוויותיו ישרות” – נכון; “אם כל זוויות המרובע ישרות, הוא ריבוע” – לא נכון: גם למלבן ארוך יש ארבע זוויות ישרות. לכן כל משפט הפוך צריך הוכחה משלו.

שתי זוויות שוות

הזוויות השוות הן זוויות הבסיס, והצלע שביניהן היא הבסיס.

משפט: משולש שיש בו שתי זוויות שוות הוא משולש שווה שוקיים: הצלעות שמול הזוויות השוות שוות.

במשולש $\displaystyle ABC$ , אם $\displaystyle {\angle B}={\angle C}$ , אז $\displaystyle {AB}={AC}$ .
$\displaystyle AB$ מול $\displaystyle \angle C$ , ו- $\displaystyle AC$ מול $\displaystyle \angle B$ .

הוכחת המשפט

נתון: $\displaystyle {\angle B}={\angle C}$ .
צריך להוכיח: $\displaystyle {AB}={AC}$ .

בהוכחה שלפניכם נעביר את $\displaystyle AD$ , חוצה הזווית $\displaystyle A$ , ונוכיח שהמשולשים $\displaystyle ABD$ ו- $\displaystyle ACD$ חופפים לפי ז.צ.ז:

	טענה	נימוק
1	$\displaystyle {\angle B}={\angle C}$	נתון
2	$\displaystyle {\angle BAD}={\angle CAD}$	$\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$ (בנייה)
3	$\displaystyle {\angle ADB}={\angle ADC}$	(1), (2); סכום הזוויות במשולש הוא $\displaystyle 180^{\circ}$
4	$\displaystyle {AD}={AD}$	צלע משותפת
5	$\displaystyle \triangle ABD\cong\triangle ACD$	(2), (3), (4); לפי משפט החפיפה ז.צ.ז
6	$\displaystyle {AB}={AC}$	(5); במשולשים חופפים, מול זוויות שוות צלעות שוות

תרגיל 1

במשולש $\displaystyle ABC$ נתון: $\displaystyle {\angle A}={50^{\circ}}$ ו- $\displaystyle {\angle B}={65^{\circ}}$ .
אורכי הצלעות: $\displaystyle {AB}={2x+3}$ ו- $\displaystyle {AC}={x+8}$ (בס"מ).
מצאו את $\displaystyle x$ ואת אורך הצלע $\displaystyle AB$ . נמקו.

\displaystyle AB

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

חוצה זווית, תיכון וגובה מאותו קודקוד

השוקיים נפגשות בקודקוד שממנו יוצא הקטע.

משפט: אם במשולש מתלכדים שניים מבין חוצה הזווית, התיכון והגובה שיוצאים מאותו קודקוד, המשולש שווה שוקיים.

אלה שלושה משפטים, אחד לכל זוג. במשולש $\displaystyle ABC$ הנקודה $\displaystyle D$ על הצלע $\displaystyle BC$ , ו- $\displaystyle {AB}={AC}$ אם הקטע $\displaystyle AD$ הוא:

חוצה זווית וגם תיכון;
חוצה זווית וגם גובה;
תיכון וגם גובה.

חוצה זווית שהוא גם תיכון

נתון: $\displaystyle {\angle BAD}={\angle CAD}$ ו- $\displaystyle {BD}={CD}$ .
צריך להוכיח: $\displaystyle {AB}={AC}$ .

בהוכחה שלפניכם נבנה בניית עזר: נאריך את $\displaystyle AD$ מעבר ל- $\displaystyle D$ עד הנקודה $\displaystyle E$ , כך ש- $\displaystyle {DE}={AD}$ , ונחבר את $\displaystyle E$ ל- $\displaystyle C$ :

המשולש $\displaystyle ECD$ חופף למשולש $\displaystyle ABD$ , ולכן $\displaystyle {EC}={AB}$ ;
במשולש $\displaystyle ACE$ יש שתי זוויות שוות, ולכן $\displaystyle {EC}={AC}$ .

	טענה	נימוק
1	$\displaystyle {BD}={CD}$	$\displaystyle AD$ תיכון (נתון)
2	$\displaystyle {AD}={DE}$	בנייה
3	$\displaystyle {\angle ADB}={\angle EDC}$	זוויות קודקודיות שוות
4	$\displaystyle \triangle ABD\cong\triangle ECD$	(1), (2), (3); לפי משפט החפיפה צ.ז.צ
5	$\displaystyle {AB}={EC}$	(4); צלעות מתאימות במשולשים חופפים
6	$\displaystyle {\angle BAD}={\angle CED}$	(4); זוויות מתאימות במשולשים חופפים
7	$\displaystyle {\angle BAD}={\angle CAD}$	$\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$ (נתון)
8	$\displaystyle {\angle CAD}={\angle CED}$	(6), (7)
9	$\displaystyle {AC}={EC}$	(8); משולש שיש בו שתי זוויות שוות הוא שווה שוקיים
10	$\displaystyle {AB}={AC}$	(5), (9)

תרגיל 2

הוכיחו את המשפט: חוצה זווית שהוא גם גובה.

נתון: $\displaystyle {\angle BAD}={\angle CAD}$ ו- $\displaystyle AD\perp BC$ .
צריך להוכיח: $\displaystyle {AB}={AC}$ .

תרגיל 3

הוכיחו את המשפט: תיכון שהוא גם גובה.

נתון: $\displaystyle {BD}={CD}$ ו- $\displaystyle AD\perp BC$ .
צריך להוכיח: $\displaystyle {AB}={AC}$ .

תרגיל 4

חשבו, ונמקו כל שלב.

במשולש $\displaystyle KLM$ הקטע $\displaystyle KN$ הוא התיכון לצלע $\displaystyle LM$ , וגם הגובה אליה.
נתון: $\displaystyle {KL}={10}$ ס"מ ו- $\displaystyle {\angle L}={48^{\circ}}$ .
מצאו את $\displaystyle KM$ ואת הזווית $\displaystyle LKM$ .

\displaystyle KM

\displaystyle \angle LKM

במשולש $\displaystyle PQR$ חוצה הזווית $\displaystyle P$ הוא גם התיכון לצלע $\displaystyle QR$ .
נתון: $\displaystyle {\angle Q}={35^{\circ}}$ .
מצאו את הזווית $\displaystyle R$ ואת הזווית $\displaystyle P$ .

\displaystyle \angle R

\displaystyle \angle P

נוסחאות: גאומטריה, כיתה ח'

פתיחה בעמוד

זוויות בין ישרים מקבילים

זוויות צמודות
$\displaystyle \alpha+\beta=180^{\circ}$
זוויות קודקודיות שוות
$\displaystyle \alpha=\gamma$
בין ישרים מקבילים: זוויות מתאימות שוות, וגם זוויות מתחלפות
$\displaystyle \alpha=\beta$
בין ישרים מקבילים: זוויות חד־צדדיות
$\displaystyle \gamma+\delta=180^{\circ}$

זוויות במשולש

סכום הזוויות במשולש
$\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}$
זווית חיצונית $\displaystyle \delta$ שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה
$\displaystyle \delta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha+\beta$
במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
$\displaystyle \angle B=\angle C$ $\displaystyle AB=AC$
במשולש שווה צלעות כל הזוויות שוות
$\displaystyle \alpha=\beta=\gamma=60^{\circ}$

משפט פיתגורס

במשולש ישר־זווית – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הניצבים, $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle a^2+b^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c^2$
חישוב ניצב – מהיתר ומהניצב השני
$\displaystyle a^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c^2-b^2$

צלעות במשולש

אי־שוויון המשולש – סכום שתי צלעות גדול מהצלע השלישית
$\displaystyle a+b>c$
הצלע השלישית – בין ההפרש של שתי הצלעות האחרות לסכום שלהן
$\displaystyle a-b<c<a+b$ $\displaystyle a\ge b$

משולשים דומים

במשולשים דומים $\displaystyle \triangle ABC\sim\triangle DEF$ הצלעות המתאימות באותו יחס – $\displaystyle k$ יחס הדמיון
$\displaystyle \frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{FD}{CA}=k$
יחס ההיקפים – גם ההיקף גדל פי $\displaystyle k$
$\displaystyle P_{DEF}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k\cdot P_{ABC}$
כפל בהצלבה בפרופורציה
$\displaystyle a\cdot d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\cdot c$ $\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$