משולש שווה שוקיים

משולש שווה שוקיים הוא משולש שיש בו שתי צלעות שוות.

• השוקיים הן שתי הצלעות השוות: כאן $\displaystyle AB$ ו-$\displaystyle AC$.
• הבסיס הוא הצלע השלישית: $\displaystyle BC$.
• זווית הראש היא הזווית שבין השוקיים: $\displaystyle \angle A$.
• זוויות הבסיס הן שתי הזוויות שליד הבסיס: $\displaystyle \angle B$ ו-$\displaystyle \angle C$.

משפט: במשולש שווה שוקיים, זוויות הבסיס שוות.

• במשולש $\displaystyle ABC$, אם $\displaystyle {AB}={AC}$, אז $\displaystyle {\angle B}={\angle C}$.
• כל זווית בסיס נמצאת מול שוק: $\displaystyle \angle C$ מול $\displaystyle AB$, ו-$\displaystyle \angle B$ מול $\displaystyle AC$.

נתון: $\displaystyle {AB}={AC}$.
צריך להוכיח: $\displaystyle {\angle B}={\angle C}$.

בהוכחה שלפניכם נעביר את $\displaystyle AD$, חוצה הזווית $\displaystyle A$, ונוכיח שהמשולשים $\displaystyle ABD$ ו-$\displaystyle ACD$ חופפים לפי צ.ז.צ:

במשולש שווה שוקיים, חוצה זווית הראש הוא גם התיכון לבסיס וגם הגובה לבסיס.

בהוכחה מצאנו $\displaystyle \triangle ABD\cong\triangle ACD$. מהחפיפה נובעים עוד שני דברים:

• $\displaystyle {BD}={CD}$ – צלעות מתאימות, ולכן $\displaystyle AD$ הוא התיכון לבסיס;
• $\displaystyle {\angle ADB}={\angle ADC}$ – זוויות מתאימות. הן זוויות צמודות, ויחד הן $\displaystyle 180^{\circ}$, ולכן כל אחת מהן $\displaystyle 90^{\circ}$: $\displaystyle AD$ הוא הגובה לבסיס.

מהקודקוד $\displaystyle A$ יוצא תיכון אחד לבסיס וגובה אחד לבסיס, ולכן שלושתם – חוצה הזווית, התיכון והגובה – הם אותו קטע.

זוויות הבסיס שוות, ולכן זווית אחת במשולש שווה שוקיים מספיקה כדי למצוא את שתי האחרות.

• זווית הראש $\displaystyle 40^{\circ}$: שתי זוויות הבסיס יחד הן $\displaystyle {180^{\circ}-40^{\circ}}={140^{\circ}}$, וכל אחת מהן $\displaystyle {140^{\circ}:2}={70^{\circ}}$.
• זווית בסיס $\displaystyle 65^{\circ}$: גם השנייה $\displaystyle 65^{\circ}$, וזווית הראש היא $\displaystyle {180^{\circ}-2\cdot65^{\circ}}={50^{\circ}}$.

במשולש $\displaystyle ABC$ נתון: $\displaystyle {AB}={AC}$.
חשבו את הזוויות, ונמקו.

$\displaystyle {\angle A}={100^{\circ}}$. מצאו את הזווית $\displaystyle B$ ואת הזווית $\displaystyle C$.

$\displaystyle {\angle B}={72^{\circ}}$. מצאו את הזווית $\displaystyle A$.

$\displaystyle AD$ הוא התיכון לבסיס $\displaystyle BC$, ו-$\displaystyle {\angle BAD}={25^{\circ}}$.
מצאו את הזווית $\displaystyle BAC$, את הזווית $\displaystyle B$ ואת הזווית $\displaystyle ADB$.

במשולש $\displaystyle ABC$ נתון: $\displaystyle {AB}={AC}$.
הזווית $\displaystyle A$ היא $\displaystyle x$ מעלות, והזווית $\displaystyle B$ היא $\displaystyle 2x+10$ מעלות.
כתבו משוואה, ומצאו את $\displaystyle x$.

משולש שווה צלעות הוא משולש ששלוש צלעותיו שוות. כל זווית בו היא $\displaystyle 60^{\circ}$:

• $\displaystyle {AB}={AC}$, ולכן $\displaystyle {\angle B}={\angle C}$ – זוויות הבסיס כשהבסיס הוא $\displaystyle BC$;
• $\displaystyle {BA}={BC}$, ולכן $\displaystyle {\angle A}={\angle C}$ – זוויות הבסיס כשהבסיס הוא $\displaystyle AC$;
• שלוש הזוויות שוות, ולכן כל אחת מהן $\displaystyle {180^{\circ}:3}={60^{\circ}}$.

במשולש $\displaystyle ABC$ נתון: $\displaystyle {AB}={AC}$.
הנקודות $\displaystyle D$ ו-$\displaystyle E$ על הבסיס $\displaystyle BC$, כך ש-$\displaystyle {BD}={CE}$.
הוכיחו: $\displaystyle {AD}={AE}$.

במשולש $\displaystyle ABC$ נתון: $\displaystyle {AB}={AC}$.
$\displaystyle BD$ הוא הגובה לשוק $\displaystyle AC$, ו-$\displaystyle CE$ הוא הגובה לשוק $\displaystyle AB$.
הוכיחו: $\displaystyle {BD}={CE}$.