דלג לתוכן

תיכון, גובה וחוצה זווית במשולש

גאומטריה, כיתה ח' שיעור 14 מתוך 21לימוד

תיכון, גובה וחוצה זווית במשולש

שלושה קטעים מקודקוד

מכל קודקוד של משולש יוצאים שלושה קטעים מיוחדים אל הצלע שמולו:

  • התיכון – מגיע לאמצע הצלע;
  • הגובה – מאונך לצלע;
  • חוצה הזווית – מחלק את זווית הקודקוד לשתי זוויות שוות.
תיכון

תיכון במשולש הוא קטע שמחבר קודקוד עם אמצע הצלע שמולו.

  • במשולש ABC\displaystyle ABC הנקודה D\displaystyle D היא אמצע BC\displaystyle BC: BD=DC\displaystyle {BD}={DC}.
  • AD\displaystyle AD הוא התיכון לצלע BC\displaystyle BC.
  • לכל משולש שלושה תיכונים – אחד לכל צלע.
גובה

גובה במשולש הוא קטע שיוצא מקודקוד ומאונך לצלע שמולו.

  • AH\displaystyle AH מאונך ל-BC\displaystyle BC: AH\displaystyle AH הוא הגובה לצלע BC\displaystyle BC.
  • לכל משולש שלושה גבהים – אחד לכל צלע.
  • במשולש ישר זווית, כל אחד מהניצבים הוא גם גובה לניצב השני.

במשולש קהה זווית, הגובה מקודקוד של זווית חדה יוצא מחוץ למשולש: הוא מאונך להמשך הצלע שמולו.

חוצה זווית

חוצה זווית במשולש הוא קטע שיוצא מקודקוד, מחלק את הזווית שלו לשתי זוויות שוות, ומגיע אל הצלע שמולו.

  • ∠BAE=∠EAC\displaystyle {\angle BAE}={\angle EAC}: AE\displaystyle AE הוא חוצה הזווית A\displaystyle A.
  • לכל משולש שלושה חוצי זוויות – אחד לכל זווית.

במשולש הזה שלושת הקטעים שיוצאים מ-A\displaystyle A שונים זה מזה: הגובה AH\displaystyle AH, חוצה הזווית AE\displaystyle AE והתיכון AD\displaystyle AD.

תרגיל 1

שרטטו על הלוח את התיכון לצלע AC\displaystyle AC, ואת הגובה לצלע AB\displaystyle AB.

תרגיל 2

חשבו, ונמקו.

א

במשולש ABC\displaystyle ABC הקטע AD\displaystyle AD הוא התיכון לצלע BC\displaystyle BC, ו-BC=14\displaystyle {BC}={14} ס"מ.
מצאו את אורך BD\displaystyle BD.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    במשולש ABC\displaystyle ABC הקטע AD\displaystyle AD הוא הגובה לצלע BC\displaystyle BC, ו-∠B=35∘\displaystyle {\angle B}={35^{\circ}}.
    מצאו את הזווית BAD\displaystyle BAD.

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

      במשולש ABC\displaystyle ABC הקטע AD\displaystyle AD חוצה את הזווית A\displaystyle A.
      נתון: ∠BAC=70∘\displaystyle {\angle BAC}={70^{\circ}} ו-∠B=60∘\displaystyle {\angle B}={60^{\circ}}.
      מצאו את הזווית BAD\displaystyle BAD ואת הזווית ADB\displaystyle ADB.

      ∠BAD\displaystyle \angle BAD

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ∠ADB\displaystyle \angle ADB

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          מפגש התיכונים

          שלושת התיכונים של משולש נפגשים בנקודה אחת, G\displaystyle G – בכל משולש.

          הנקודה G\displaystyle G היא מרכז הכובד של המשולש: משולש שגזרתם מקרטון יעמוד מאוזן על חוד של עיפרון שנמצא בדיוק מתחת ל-G\displaystyle G.

          התיכון והשטח
          הגובה AH\displaystyle AH של המשולש ADC\displaystyle ADC נמצא מחוץ לו, על המשך הצלע DC\displaystyle DC – וזה עדיין הגובה שלו.

          התיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח: כאן ABD\displaystyle ABD ו-ADC\displaystyle ADC.

          • שטח משולש הוא צלע כפול הגובה אליה, לחלק ל-2.
          • הבסיסים שווים: BD=DC\displaystyle {BD}={DC}.
          • לשני המשולשים אותו גובה: AH\displaystyle AH, הגובה מ-A\displaystyle A אל הישר BC\displaystyle BC.
          • לכן השטחים שווים: כל אחד מהם הוא חצי משטח המשולש ABC\displaystyle ABC.
          תרגיל 3

          במשולש ABC\displaystyle ABC הקטע AD\displaystyle AD הוא התיכון לצלע BC\displaystyle BC.

          א

          שטח המשולש ABC\displaystyle ABC הוא 48 סמ"ר.
          מה שטח המשולש ABD\displaystyle ABD?

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ב

            BC=12\displaystyle {BC}={12} ס"מ, והגובה מ-A\displaystyle A לצלע BC\displaystyle BC הוא 5 ס"מ.
            מה שטח המשולש ADC\displaystyle ADC?

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה