זוויות בין ישרים מקבילים

כששני ישרים נחתכים, נוצרות ארבע זוויות סביב נקודת החיתוך $\displaystyle O$:

• $\displaystyle \alpha$ ו-$\displaystyle \beta$ הן זוויות צמודות: יש להן צלע משותפת, ושתי הצלעות האחרות שלהן הן ישר אחד. סכומן $\displaystyle 180^{\circ}$.
• $\displaystyle \alpha$ ו-$\displaystyle \gamma$ הן זוויות קודקודיות: הצלעות של אחת הן ההמשכים של הצלעות של השנייה. הן שוות.
• למה זוויות קודקודיות שוות: גם $\displaystyle \alpha$ וגם $\displaystyle \gamma$ צמודות ל-$\displaystyle \beta$, ולכן כל אחת מהן היא $\displaystyle 180^{\circ}-\beta$.

בשרטוט הישר $\displaystyle EF$ חותך את הישרים $\displaystyle AB$ ו-$\displaystyle CD$ בנקודות $\displaystyle P$ ו-$\displaystyle Q$.
ליד כל נקודת חיתוך יש ארבע זוויות – שמונה זוויות בסך הכול. לזוגות של זוויות, אחת ליד $\displaystyle P$ ואחת ליד $\displaystyle Q$, יש שמות:

• זוויות מתאימות – באותו מקום ליד שתי נקודות החיתוך: $\displaystyle \alpha$ ו-$\displaystyle \beta$ (שתיהן מעל הישר ומימין לחותך).
• זוויות מתחלפות – שתיהן בין שני הישרים, משני צדי החותך: $\displaystyle \gamma$ ו-$\displaystyle \beta$.
• זוויות חד־צדדיות – שתיהן בין שני הישרים, באותו צד של החותך: $\displaystyle \gamma$ ו-$\displaystyle \delta$.

כשישר חותך שני ישרים מקבילים:

• זוויות מתאימות שוות;
• זוויות מתחלפות שוות;
• סכום זוויות חד־צדדיות הוא $\displaystyle 180^{\circ}$.

לישרים מקבילים יש אותו כיוון, ומזה נובעים שלושת חלקי המשפט.

• מתאימות: נזיז את הישר $\displaystyle AB$ לאורך החותך, בלי לסובב אותו, עד שיעבור דרך $\displaystyle Q$. הכיוון שלו לא השתנה, ולכן הוא מונח בדיוק על $\displaystyle CD$. הזווית $\displaystyle \alpha$ זזה איתו ונופלת על $\displaystyle \beta$: $\displaystyle {\alpha}={\beta}$.
• מתחלפות: $\displaystyle {\gamma}={\alpha}$, כי הן זוויות קודקודיות, ו-$\displaystyle {\alpha}={\beta}$. לכן $\displaystyle {\gamma}={\beta}$.
• חד־צדדיות: $\displaystyle {\beta+\delta}={180^{\circ}}$, כי הן זוויות צמודות, ו-$\displaystyle {\gamma}={\beta}$. לכן $\displaystyle {\gamma+\delta}={180^{\circ}}$.

בשרטוט שלמעלה $\displaystyle AB\parallel CD$ ו-$\displaystyle {\alpha}={112^{\circ}}$.
נמצא את כל שמונה הזוויות.

• ליד $\displaystyle P$: $\displaystyle {\gamma}={112^{\circ}}$, כי היא קודקודית ל-$\displaystyle \alpha$. שתי הזוויות האחרות צמודות ל-$\displaystyle \alpha$, ולכן כל אחת מהן היא $\displaystyle {180^{\circ}-112^{\circ}}={68^{\circ}}$.
• ליד $\displaystyle Q$: $\displaystyle {\beta}={112^{\circ}}$, כי היא מתאימה ל-$\displaystyle \alpha$. מכאן, כמו ליד $\displaystyle P$: הזווית הקודקודית ל-$\displaystyle \beta$ היא $\displaystyle 112^{\circ}$, ו-$\displaystyle \delta$ והזווית הקודקודית לה הן $\displaystyle 68^{\circ}$.

בכל נקודת חיתוך יש רק שני גדלים של זוויות, וסכומם $\displaystyle 180^{\circ}$.

בשרטוט שלמעלה: האם הזוויות בכל זוג הן מתאימות, מתחלפות או חד־צדדיות?

$\displaystyle \angle APQ$ ו-$\displaystyle \angle PQD$

$\displaystyle \angle BPQ$ ו-$\displaystyle \angle PQD$

$\displaystyle \angle APQ$ ו-$\displaystyle \angle CQF$

$\displaystyle \angle BPQ$ ו-$\displaystyle \angle PQC$

בשרטוט $\displaystyle AB\parallel CD$, והישר $\displaystyle EF$ חותך אותם בנקודות $\displaystyle P$ ו-$\displaystyle Q$.
$\displaystyle {\angle EPA}={68^{\circ}}$.
מצאו את הזוויות, ונמקו.

$\displaystyle \angle BPQ$

$\displaystyle \angle PQC$

$\displaystyle \angle DQF$

$\displaystyle \angle PQD$

ישר חותך שני ישרים מקבילים.
שתי זוויות מתאימות הן $\displaystyle 5x-8$ ו-$\displaystyle 4x+16$ מעלות.
כתבו משוואה ופתרו אותה.
מצאו את גודל הזוויות.

ישר חותך שני ישרים מקבילים.
שתי זוויות חד־צדדיות הן $\displaystyle x$ ו-$\displaystyle 2x-24$ מעלות.
כתבו משוואה ופתרו אותה.
מצאו את גודל הזוויות.

בשרטוט $\displaystyle AB\parallel CD$.
$\displaystyle {\angle BME}={34^{\circ}}$ ו-$\displaystyle {\angle END}={38^{\circ}}$.
מצאו את $\displaystyle \angle MEN$, ונמקו.
רמז: העבירו דרך $\displaystyle E$ ישר מקביל ל-$\displaystyle AB$.