הוכחה בעזרת משולשים חופפים

טענה ונימוק

הוכחה בגאומטריה היא שרשרת של טענות, ולכל טענה יש נימוק: נתון, משפט שלמדנו, או טענות קודמות בהוכחה.

כותבים את ההוכחה בטבלה: בעמודה אחת הטענה, ובשנייה הנימוק.
השורות ממוספרות. טענה שנשענת על שורות קודמות מציינת את המספרים שלהן, למשל “(1), (2), (3)”.

איברים שווים במשולשים חופפים

כשמוכיחים ש- $\displaystyle \triangle ABC\cong\triangle DEF$ , כל זוג של איברים מתאימים בהם שווה – וכך מוכיחים שקטעים או זוויות שווים.

את ההתאמה קוראים מסדר האותיות בחפיפה.
הנימוק לצלעות שוות: “במשולשים חופפים, מול זוויות שוות צלעות שוות”.
הנימוק לזוויות שוות: “במשולשים חופפים, מול צלעות שוות זוויות שוות”.

שלבי ההוכחה

כך בונים הוכחה בעזרת משולשים חופפים:

מסמנים בשרטוט את כל הנתונים.
מחפשים שני משולשים שהקטעים (או הזוויות) שצריך להוכיח שהם שווים הם צלעות (או זוויות) שלהם.
מוצאים בהם שלושה זוגות של איברים שווים: נתונים, צלע משותפת, זווית משותפת, זוויות קודקודיות, זוויות מתחלפות או מתאימות בין ישרים מקבילים.
כותבים את החפיפה לפי משפט חפיפה, ואחריה את המסקנה.

דוגמה 1: צ.ז.צ

במרובע $\displaystyle ABCD$ : $\displaystyle {AB}={AD}$ .
האלכסון $\displaystyle AC$ חוצה את הזווית $\displaystyle BAD$ : $\displaystyle {\angle BAC}={\angle DAC}$ .
צריך להוכיח: $\displaystyle {BC}={DC}$ , ו- $\displaystyle {\angle ABC}={\angle ADC}$ .

בהוכחה שלפניכם נוכיח שהמשולשים $\displaystyle ABC$ ו- $\displaystyle ADC$ חופפים – הצלע $\displaystyle AC$ משותפת להם – ומהחפיפה נסיק את שתי המסקנות:

	טענה	נימוק
1	$\displaystyle {AB}={AD}$	נתון
2	$\displaystyle {\angle BAC}={\angle DAC}$	נתון
3	$\displaystyle {AC}={AC}$	צלע משותפת
4	$\displaystyle \triangle ABC\cong\triangle ADC$	(1), (2), (3); לפי משפט החפיפה צ.ז.צ
5	$\displaystyle {BC}={DC}$	(4); במשולשים חופפים, מול זוויות שוות צלעות שוות
6	$\displaystyle {\angle ABC}={\angle ADC}$	(4); במשולשים חופפים, מול צלעות שוות זוויות שוות

דוגמה 2: ז.צ.ז

הקטעים $\displaystyle AE$ ו- $\displaystyle BD$ נחתכים בנקודה $\displaystyle C$ .
$\displaystyle AB\parallel DE$ .
$\displaystyle C$ אמצע $\displaystyle BD$ .
צריך להוכיח: $\displaystyle {AB}={DE}$ .

בהוכחה שלפניכם נוכיח שהמשולשים $\displaystyle ABC$ ו- $\displaystyle EDC$ חופפים: הזוויות ב- $\displaystyle B$ וב- $\displaystyle D$ מתחלפות בין המקבילים, והזוויות ב- $\displaystyle C$ קודקודיות.

	טענה	נימוק
1	$\displaystyle {BC}={DC}$	נתון ( $\displaystyle C$ אמצע $\displaystyle BD$ )
2	$\displaystyle {\angle ABC}={\angle EDC}$	זוויות מתחלפות בין הישרים המקבילים $\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle DE$
3	$\displaystyle {\angle ACB}={\angle ECD}$	זוויות קודקודיות
4	$\displaystyle \triangle ABC\cong\triangle EDC$	(1), (2), (3); לפי משפט החפיפה ז.צ.ז
5	$\displaystyle {AB}={ED}$	(4); במשולשים חופפים, מול זוויות שוות צלעות שוות

תרגיל 1

הקטעים $\displaystyle AC$ ו- $\displaystyle BD$ נחתכים בנקודה $\displaystyle O$ .
$\displaystyle O$ אמצע $\displaystyle AC$ , ו- $\displaystyle O$ אמצע $\displaystyle BD$ .
הוכיחו: $\displaystyle {AB}={CD}$ .

תרגיל 2

במשולש $\displaystyle ABC$ : $\displaystyle {AB}={AC}$ .
הנקודה $\displaystyle D$ על $\displaystyle AB$ , והנקודה $\displaystyle E$ על $\displaystyle AC$ , כך ש- $\displaystyle {AD}={AE}$ .
הוכיחו: $\displaystyle {BE}={CD}$ .

תרגיל 3

במרובע $\displaystyle ABCD$ : $\displaystyle {\angle B}={\angle D}={90^{\circ}}$ .
$\displaystyle {AB}={AD}$ .
הוכיחו: $\displaystyle {BC}={DC}$ .

נוסחאות: גאומטריה, כיתה ח'

פתיחה בעמוד

זוויות בין ישרים מקבילים

זוויות צמודות
$\displaystyle \alpha+\beta=180^{\circ}$
זוויות קודקודיות שוות
$\displaystyle \alpha=\gamma$
בין ישרים מקבילים: זוויות מתאימות שוות, וגם זוויות מתחלפות
$\displaystyle \alpha=\beta$
בין ישרים מקבילים: זוויות חד־צדדיות
$\displaystyle \gamma+\delta=180^{\circ}$

זוויות במשולש

סכום הזוויות במשולש
$\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}$
זווית חיצונית $\displaystyle \delta$ שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה
$\displaystyle \delta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha+\beta$
במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
$\displaystyle \angle B=\angle C$ $\displaystyle AB=AC$
במשולש שווה צלעות כל הזוויות שוות
$\displaystyle \alpha=\beta=\gamma=60^{\circ}$

משפט פיתגורס

במשולש ישר־זווית – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הניצבים, $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle a^2+b^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c^2$
חישוב ניצב – מהיתר ומהניצב השני
$\displaystyle a^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c^2-b^2$

צלעות במשולש

אי־שוויון המשולש – סכום שתי צלעות גדול מהצלע השלישית
$\displaystyle a+b>c$
הצלע השלישית – בין ההפרש של שתי הצלעות האחרות לסכום שלהן
$\displaystyle a-b<c<a+b$ $\displaystyle a\ge b$

משולשים דומים

במשולשים דומים $\displaystyle \triangle ABC\sim\triangle DEF$ הצלעות המתאימות באותו יחס – $\displaystyle k$ יחס הדמיון
$\displaystyle \frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{FD}{CA}=k$
יחס ההיקפים – גם ההיקף גדל פי $\displaystyle k$
$\displaystyle P_{DEF}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k\cdot P_{ABC}$
כפל בהצלבה בפרופורציה
$\displaystyle a\cdot d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\cdot c$ $\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$