שימושים במשפט פיתגורס

חישוב ניצב

כשידועים היתר וניצב אחד, מוצאים את הניצב השני: מעבירים את $\displaystyle b^{2}$ לאגף השני במשפט פיתגורס.

\displaystyle a^2

\displaystyle =

\displaystyle c^2-b^2

דוגמה: היתר 13 וניצב אחד 5. הניצב השני: $\displaystyle {a}={\sqrt{13^{2}-5^{2}}}={\sqrt{169-25}}={\sqrt{144}}={12}$ .
בחישוב ניצב מחסרים: היתר הוא הצלע הארוכה, והריבוע שלו הוא הגדול.

תרגיל 1

בכל סעיף, היתר וניצב אחד של משולש ישר זווית: היתר 10 וניצב 6; היתר 25 וניצב 7; היתר 17 וניצב 15; היתר 2.5 וניצב 1.5.
חשבו את הניצב השני.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

דוגמה: סולם ליד קיר

סולם באורך 2.5 מ’ נשען על קיר.
הרגל שלו במרחק 0.7 מ’ מהקיר.
לאיזה גובה הוא מגיע?

הקיר והרצפה מאונכים זה לזה, ולכן הקיר, הרצפה והסולם יוצרים משולש ישר זווית.
הסולם מול הזווית הישרה, ולכן הוא היתר: 2.5. הניצבים הם המרחק מהקיר, 0.7, והגובה $\displaystyle h$ .
$\displaystyle {h^{2}}={2.5^{2}-0.7^{2}}={6.25-0.49}={5.76}$ .
$\displaystyle {h}={\sqrt{5.76}}={2.4}$ : הסולם מגיע לגובה 2.4 מ'.

תרגיל 2

רוחב המסך של טלוויזיה הוא 48 ס"מ, והגובה שלו 36 ס"מ.
את גודל המסך מודדים לפי האלכסון שלו.
מה אורך האלכסון?

תרגיל 3

מגרש בצורת מלבן, באורך 80 מ’ וברוחב 60 מ’.
נועה הולכת מפינה אחת של המגרש לפינה שמולה לאורך האלכסון, ולא לאורך שתי צלעות.
בכמה מטרים הדרך שלה קצרה יותר?

האלכסון

בכמה קצרה הדרך

תרגיל 4

סולם באורך 5 מ’ נשען על קיר ומגיע לגובה 4.8 מ’.
באיזה מרחק מהקיר עומדת הרגל של הסולם?

המשפט ההפוך למשפט פיתגורס

כך בונים בודקים פינה ישרה: מסמנים 3 מ’ על קיר אחד ו-4 מ’ על הקיר השני. אם בין שני הסימנים יש בדיוק 5 מ’, הפינה ישרה.

המשפט ההפוך: אם בין הצלעות של משולש מתקיים $\displaystyle {a^{2}+b^{2}}={c^{2}}$ , המשולש ישר זווית, והזווית הישרה היא מול הצלע $\displaystyle c$ .

למה המשפט ההפוך נכון

נשאיר את הצלעות $\displaystyle CA$ ו- $\displaystyle CB$ באותו אורך, ונפתח ונסגור את הזווית $\displaystyle C$ שביניהן, כמו מחוגה:

ככל שהזווית $\displaystyle C$ גדולה יותר, הקצוות של שתי הצלעות רחוקים יותר זה מזה, והצלע השלישית ארוכה יותר.
כשהזווית ישרה, הצלע השלישית $\displaystyle AB$ היא היתר, והריבוע שלו בדיוק $\displaystyle CA^{2}+CB^{2}$ .
בזווית קטנה מ- $\displaystyle 90^{\circ}$ (הקו המקווקו אל $\displaystyle D$ ) הצלע השלישית קצרה יותר, ובזווית גדולה מ- $\displaystyle 90^{\circ}$ (אל $\displaystyle E$ ) – ארוכה יותר.
לכן רק בזווית ישרה הריבוע של הצלע השלישית שווה ל- $\displaystyle CA^{2}+CB^{2}$ .

בדיקה אם משולש ישר זווית

כדי לבדוק אם משולש ישר זווית, משווים את הריבוע של הצלע הארוכה לסכום הריבועים של שתי הצלעות האחרות.

צלעות 6, 8, 10: $\displaystyle {6^{2}+8^{2}}={36+64}={100}={10^{2}}$ . המשולש ישר זווית.
צלעות 5, 6, 8: $\displaystyle {5^{2}+6^{2}}={25+36}={61}$ $5^{2} + 6^{2} = 25 + 36 = 61$ , אבל $\displaystyle {8^{2}}={64}$ $8^{2} = 64$ . המשולש אינו ישר זווית.
- $\displaystyle 64>61$ , ולכן הזווית מול הצלע 8 גדולה מ- $\displaystyle 90^{\circ}$ : זה משולש קהה זווית.

תרגיל 5

האם משולש שאלה אורכי הצלעות שלו הוא ישר זווית? נמקו.

9, 12, 15

7, 8, 11

13, 5, 12

2, 3, 4

שלשות פיתגוריות

שלשה פיתגורית היא שלושה מספרים שלמים $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ שמקיימים $\displaystyle {a^{2}+b^{2}}={c^{2}}$ – אורכי הצלעות של משולש ישר זווית.

שלשות מוכרות: 3, 4, 5; 5, 12, 13; 8, 15, 17; 7, 24, 25.
כשכופלים את שלושת המספרים של שלשה פיתגורית באותו מספר שלם, מקבלים עוד שלשה: מ-3, 4, 5 מקבלים 6, 8, 10 וגם 9, 12, 15.
למה: כשכל צלע גדלה פי 2, כל ריבוע גדל פי 4, ולכן השוויון בין הריבועים נשמר.

תרגיל 6

הראו ש-20, 21, 29 היא שלשה פיתגורית.
כתבו שתי שלשות פיתגוריות שמתקבלות מ-5, 12, 13.

נוסחאות: גאומטריה, כיתה ח'

פתיחה בעמוד

זוויות בין ישרים מקבילים

זוויות צמודות
$\displaystyle \alpha+\beta=180^{\circ}$
זוויות קודקודיות שוות
$\displaystyle \alpha=\gamma$
בין ישרים מקבילים: זוויות מתאימות שוות, וגם זוויות מתחלפות
$\displaystyle \alpha=\beta$
בין ישרים מקבילים: זוויות חד־צדדיות
$\displaystyle \gamma+\delta=180^{\circ}$

זוויות במשולש

סכום הזוויות במשולש
$\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}$
זווית חיצונית $\displaystyle \delta$ שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה
$\displaystyle \delta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha+\beta$
במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
$\displaystyle \angle B=\angle C$ $\displaystyle AB=AC$
במשולש שווה צלעות כל הזוויות שוות
$\displaystyle \alpha=\beta=\gamma=60^{\circ}$

משפט פיתגורס

במשולש ישר־זווית – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הניצבים, $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle a^2+b^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c^2$
חישוב ניצב – מהיתר ומהניצב השני
$\displaystyle a^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c^2-b^2$

צלעות במשולש

אי־שוויון המשולש – סכום שתי צלעות גדול מהצלע השלישית
$\displaystyle a+b>c$
הצלע השלישית – בין ההפרש של שתי הצלעות האחרות לסכום שלהן
$\displaystyle a-b<c<a+b$ $\displaystyle a\ge b$

משולשים דומים

במשולשים דומים $\displaystyle \triangle ABC\sim\triangle DEF$ הצלעות המתאימות באותו יחס – $\displaystyle k$ יחס הדמיון
$\displaystyle \frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{FD}{CA}=k$
יחס ההיקפים – גם ההיקף גדל פי $\displaystyle k$
$\displaystyle P_{DEF}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k\cdot P_{ABC}$
כפל בהצלבה בפרופורציה
$\displaystyle a\cdot d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\cdot c$ $\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$