דלג לתוכן

משפט פיתגורס

גאומטריה, כיתה ח' שיעור 4 מתוך 21לימוד

משפט פיתגורס

ניצבים ויתר

במשולש ישר זווית אחת הזוויות היא 90∘\displaystyle 90^{\circ}. לצלעות שלו יש שמות:

  • ניצבים – שתי הצלעות שיוצרות את הזווית הישרה: a\displaystyle a ו-b\displaystyle b.
  • יתר – הצלע שמול הזווית הישרה: c\displaystyle c.
ריבועים על הצלעות

על כל צלע של משולש ישר זווית בנינו ריבוע. הניצבים של המשולש הם 3 ו-4, והיתר הוא 5: 91625345

  • השטח של הריבוע על הניצב 3 הוא 9, ועל הניצב 4 – השטח הוא 16. ספרו את המשבצות.
  • השטח של הריבוע על היתר הוא 52=25\displaystyle {5^{2}}={25}.
  • 9+16=25\displaystyle {9+16}={25}: הריבוע על היתר שווה בשטחו לשני הריבועים על הניצבים יחד.
משפט פיתגורס

משפט פיתגורס: במשולש ישר זווית, סכום הריבועים של הניצבים שווה לריבוע של היתר.

a2+b2\displaystyle a^2+b^2 =\displaystyle = c2\displaystyle c^2∠C=90∘\displaystyle \angle C=90^{\circ}
  • a\displaystyle a ו-b\displaystyle b הם הניצבים, ו-c\displaystyle c הוא היתר.
  • המשפט נכון בכל משולש ישר זווית, ורק בו.
  • היתר הוא הצלע הארוכה במשולש ישר זווית: c2\displaystyle c^{2} גדול גם מ-a2\displaystyle a^{2} וגם מ-b2\displaystyle b^{2}.
הוכחה בעזרת שטחים

בהוכחה שלפניכם נבנה שני ריבועים גדולים שווים, נוציא מכל אחד מהם ארבעה משולשים כמו המשולש שלנו, ונשווה את מה שנשאר. c2a2b2baab

  • לשני הריבועים הגדולים אותה צלע, a+b\displaystyle a+b, ולכן אותו שטח.
  • בכל אחד מהם ארבעה משולשים צבועים: משולשים ישרי זווית שהניצבים שלהם a\displaystyle a ו-b\displaystyle b, והיתר c\displaystyle c.
  • בריבוע השמאלי נשאר ריבוע שצלעו c\displaystyle c. השטח שלו c2\displaystyle c^{2}.
    • זה ריבוע: כל הצלעות שלו הן יתרים, באורך c\displaystyle c. ליד כל קודקוד שלו, הזווית שלו ושתי הזוויות החדות של המשולש יוצרות יחד 180∘\displaystyle 180^{\circ}, ושתי הזוויות החדות יחד הן 90∘\displaystyle 90^{\circ} – ולכן גם הזווית שלו 90∘\displaystyle 90^{\circ}.
  • בריבוע הימני נשארו שני ריבועים, ששטחם a2\displaystyle a^{2} ו-b2\displaystyle b^{2}.
  • משני שטחים שווים הוצאנו אותו שטח, ולכן מה שנשאר שווה: c2=a2+b2\displaystyle {c^{2}}={a^{2}+b^{2}}.
דוגמה: חישוב היתר

הניצבים של משולש ישר זווית הם 6 ו-8.
נמצא את היתר c\displaystyle c.

  • לפי משפט פיתגורס: c2=62+82=36+64=100\displaystyle {c^{2}}={6^{2}+8^{2}}={36+64}={100}.
  • c\displaystyle c הוא אורך, מספר חיובי שהריבוע שלו 100. לכן c=100=10\displaystyle {c}={\sqrt{100}}={10}.

בשורה אחת: c=62+82=100=10\displaystyle {c}={\sqrt{6^{2}+8^{2}}}={\sqrt{100}}={10}.

תרגיל 1

בכל סעיף, הניצבים של משולש ישר זווית: 5 ו-12; 9 ו-12; 8 ו-15; 0.6 ו-0.8.
חשבו את היתר.

א

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ד

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          תרגיל 2

          במשולש PQR\displaystyle PQR הזווית P\displaystyle P ישרה.
          איזו צלע היא היתר?
          כתבו את משפט פיתגורס במשולש הזה, באותיות של הצלעות.

          תרגיל 3

          הניצבים של משולש ישר זווית הם 1 ו-2.
          חשבו את היתר.
          בין אילו שני מספרים שלמים הוא נמצא?

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            תרגיל 4
            רמז: AB\displaystyle AB הוא יתר של משולש ישר זווית שהניצבים שלו על קווי המשבצות.

            מצאו את אורך הקטע AB\displaystyle AB.

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה