משולשים דומים

שתי צורות דומות כשאחת מהן היא הגדלה או הקטנה של השנייה: יש להן אותה צורה, והגודל יכול להיות שונה.

• כשמגדילים תמונה בטלפון בשתי אצבעות, כל האורכים בה גדלים פי אותו מספר, והתמונה לא מתעוותת.
• מפה היא הקטנה: כל המרחקים בה קטנים פי אותו מספר – קנה המידה.
• צורות חופפות דומות גם הן: אחת היא “הגדלה פי $\displaystyle 1$” של השנייה.

שני משולשים דומים כשהזוויות המתאימות שוות, והצלעות המתאימות באותו יחס. כותבים $\displaystyle \triangle ABC\sim\triangle DEF$, וקוראים: “המשולש $\displaystyle ABC$ דומה למשולש $\displaystyle DEF$”.

• הזוויות המתאימות שוות: $\displaystyle {\angle A}={\angle D}$, $\displaystyle {\angle B}={\angle E}$, $\displaystyle {\angle C}={\angle F}$.
• הצלעות המתאימות באותו יחס: $\displaystyle {\frac{DE}{AB}}={\frac{EF}{BC}}={\frac{FD}{CA}}$. בשרטוט: $\displaystyle {\frac{6}{4}}={\frac{9}{6}}={\frac{7.5}{5}}={1.5}$.
• סדר האותיות אומר מי מתאים למי, כמו בחפיפה: $\displaystyle A$ מתאים ל-$\displaystyle D$, $\displaystyle B$ ל-$\displaystyle E$, ו-$\displaystyle C$ ל-$\displaystyle F$.
• צלע מתאימה לצלע שבין הקודקודים המתאימים: $\displaystyle AB$ מתאימה ל-$\displaystyle DE$, ו-$\displaystyle BC$ ל-$\displaystyle EF$.

יחס הדמיון הוא המספר שבו כופלים כל צלע של משולש אחד, כדי לקבל את הצלע המתאימה לה במשולש השני. מסמנים אותו באות $\displaystyle k$.

• בשרטוט $\displaystyle {k}={1.5}$: כל צלע של $\displaystyle DEF$ ארוכה פי $\displaystyle 1.5$ מהצלע המתאימה לה ב-$\displaystyle ABC$. המשולש $\displaystyle DEF$ הוא הגדלה של $\displaystyle ABC$.
• בכיוון ההפוך, מ-$\displaystyle DEF$ אל $\displaystyle ABC$, יחס הדמיון הוא $\displaystyle {\frac{4}{6}}={\frac{2}{3}}$: הקטנה.
• כשיחס הדמיון הוא $\displaystyle 1$, המשולשים חופפים.

נתון: $\displaystyle \triangle ABC\sim\triangle KLM$.

כתבו את שלושת הזוגות של זוויות מתאימות ואת שלושת הזוגות של צלעות מתאימות.

נתון גם: $\displaystyle {AB}={5}$ ו-$\displaystyle {KL}={15}$.
מה יחס הדמיון מ-$\displaystyle ABC$ אל $\displaystyle KLM$? ומה יחס הדמיון מ-$\displaystyle KLM$ אל $\displaystyle ABC$?

נתון: $\displaystyle \triangle ABC\sim\triangle DEF$.
האורכים: $\displaystyle {AB}={6}$, $\displaystyle {BC}={8}$, $\displaystyle {DE}={9}$.
מה אורך $\displaystyle EF$?

בפתרון שלפניכם נמצא את יחס הדמיון מזוג צלעות מתאימות שאורכן ידוע, ונכפול בו את $\displaystyle BC$.

• $\displaystyle AB$ מתאימה ל-$\displaystyle DE$: שתיהן בין הקודקוד הראשון לשני. יחס הדמיון: $\displaystyle {k}={\frac{DE}{AB}}={\frac{9}{6}}={1.5}$.
• $\displaystyle EF$ מתאימה ל-$\displaystyle BC$, ולכן $\displaystyle {EF}={1.5\cdot8}={12}$.

אפשר גם לכתוב פרופורציה: $\displaystyle {\frac{EF}{8}}={\frac{9}{6}}$. בכפל בהצלבה נקבל $\displaystyle {6\cdot EF}={72}$, כלומר $\displaystyle {EF}={12}$.

נתון: $\displaystyle \triangle ABC\sim\triangle DEF$.
האורכים: $\displaystyle {AB}={12}$, $\displaystyle {BC}={9}$, $\displaystyle {CA}={15}$, $\displaystyle {DE}={8}$.
בכל סעיף כתבו פרופורציה ופתרו אותה.

מצאו את $\displaystyle EF$.

מצאו את $\displaystyle FD$.

נתון: $\displaystyle \triangle PQR\sim\triangle XYZ$.
האורכים: $\displaystyle {PQ}={4}$, $\displaystyle {XY}={10}$, $\displaystyle {YZ}={15}$.
מצאו את $\displaystyle QR$.

בהגדלה פי $\displaystyle k$ גם ההיקף גדל פי $\displaystyle k$: כל צלע גדלה פי $\displaystyle k$, ולכן גם הסכום שלהן.

• במשולשים שבשרטוט, ההיקף של $\displaystyle ABC$ הוא $\displaystyle {4+6+5}={15}$, וההיקף של $\displaystyle DEF$ הוא $\displaystyle {6+9+7.5}={22.5}$.
• $\displaystyle {15\cdot1.5}={22.5}$: ההיקף גדל פי $\displaystyle 1.5$, כמו הצלעות.

את המשולש שאורכי צלעותיו $\displaystyle 3$, $\displaystyle 4$ ו-$\displaystyle 5$ מגדילים פי $\displaystyle 3$.

מה אורכי הצלעות של המשולש החדש?

מה ההיקף של כל אחד משני המשולשים? פי כמה גדל ההיקף?

אורך הצלע של משולש שווה צלעות אחד הוא $\displaystyle 4$, ושל משולש שווה צלעות שני – $\displaystyle 10$.
האם המשולשים דומים? אם כן, מה יחס הדמיון?
האם כל שני משולשים שווי צלעות דומים? הסבירו.