משפטי הדמיון

משפטי הדמיון אומרים אילו נתונים מספיקים כדי לדעת ששני משולשים דומים, בלי לבדוק את כל שלוש הזוויות ואת כל שלוש הצלעות.

• הם דומים למשפטי החפיפה, ואפילו שמותיהם אותם שמות: ז.ז, צ.ז.צ, צ.צ.צ.
• בחפיפה הצלעות שוות; בדמיון הן באותו יחס.

משפט הדמיון ז.ז (זווית, זווית): אם שתי זוויות של משולש אחד שוות לשתי זוויות של משולש אחר, המשולשים דומים.

• גם הזווית השלישית שווה: סכום הזוויות במשולש הוא $\displaystyle 180^\circ$, ולכן היא מה שנשאר משתי האחרות.
• אין צורך לדעת אף צלע.

משפט הדמיון צ.ז.צ (צלע, זווית, צלע): אם שתי צלעות של משולש אחד הן באותו יחס לשתי צלעות של משולש אחר, והזוויות שביניהן שוות, המשולשים דומים.

• דוגמה: במשולש אחד צלעות של $\displaystyle 4$ ו-$\displaystyle 6$ ובין שתיהן זווית של $\displaystyle 50^\circ$; במשולש אחר צלעות של $\displaystyle 6$ ו-$\displaystyle 9$ ובין שתיהן זווית של $\displaystyle 50^\circ$.
• $\displaystyle {\frac{6}{4}}={\frac{9}{6}}={1.5}$, והזוויות שביניהן שוות: המשולשים דומים, ויחס הדמיון $\displaystyle 1.5$.

משפט הדמיון צ.צ.צ (צלע, צלע, צלע): אם שלוש הצלעות של משולש אחד הן באותו יחס לשלוש הצלעות של משולש אחר, המשולשים דומים.

• נסדר את הצלעות של כל משולש מהקצרה לארוכה, ונחלק כל צלע בצלע שבמקום שלה במשולש השני.
• דוגמה: $\displaystyle 3$, $\displaystyle 5$, $\displaystyle 6$ ו-$\displaystyle 6$, $\displaystyle 10$, $\displaystyle 12$: כל המנות הן $\displaystyle 2$, ולכן המשולשים דומים.

האם המשולשים דומים? אם כן, כתבו לפי איזה משפט דמיון.

זוויות של משולש אחד: $\displaystyle 40^\circ$ ו-$\displaystyle 75^\circ$.
זוויות של משולש אחר: $\displaystyle 75^\circ$ ו-$\displaystyle 65^\circ$.

צלעות של משולש אחד: $\displaystyle 4$, $\displaystyle 5$, $\displaystyle 7$.
צלעות של משולש אחר: $\displaystyle 12$, $\displaystyle 15$, $\displaystyle 21$.

במשולש אחד צלעות של $\displaystyle 3$ ו-$\displaystyle 5$, וביניהן זווית של $\displaystyle 60^\circ$.
במשולש אחר צלעות של $\displaystyle 6$ ו-$\displaystyle 10$, וביניהן זווית של $\displaystyle 60^\circ$.

צלעות של משולש אחד: $\displaystyle 2$, $\displaystyle 3$, $\displaystyle 4$.
צלעות של משולש אחר: $\displaystyle 4$, $\displaystyle 6$, $\displaystyle 9$.

קטע המקביל לצלע של משולש חותך ממנו משולש קטן הדומה לו.

במשולש $\displaystyle ABC$ הנקודה $\displaystyle D$ על הצלע $\displaystyle AB$, הנקודה $\displaystyle E$ על הצלע $\displaystyle AC$, ו-$\displaystyle DE\parallel BC$.
צריך להוכיח: $\displaystyle \triangle ADE\sim\triangle ABC$.

בהוכחה שלפניכם נראה ששתי זוויות של המשולש $\displaystyle ADE$ שוות לשתי זוויות של המשולש $\displaystyle ABC$, ונשתמש במשפט הדמיון ז.ז:

באותו שרטוט, נתון: $\displaystyle {AD}={3}$, $\displaystyle {AB}={9}$, $\displaystyle {BC}={12}$.
מה אורך $\displaystyle DE$?

• לפי סדר האותיות ב-$\displaystyle \triangle ADE\sim\triangle ABC$, הצלע $\displaystyle AD$ מתאימה ל-$\displaystyle AB$, ו-$\displaystyle DE$ ל-$\displaystyle BC$.
• פרופורציה: $\displaystyle {\frac{DE}{12}}={\frac{3}{9}}$.
• בכפל בהצלבה: $\displaystyle {9\cdot DE}={36}$, ולכן $\displaystyle {DE}={4}$.

הקטעים $\displaystyle AB$ ו-$\displaystyle CD$ נחתכים בנקודה $\displaystyle O$.
נתון: $\displaystyle AC\parallel BD$.

א. הוכיחו: $\displaystyle \triangle AOC\sim\triangle BOD$.

נתון גם: $\displaystyle {AO}={4}$, $\displaystyle {OB}={6}$, $\displaystyle {AC}={5}$.
מצאו את $\displaystyle BD$.

אפשר למדוד גובה של עץ בלי לטפס עליו: מודדים את הצל שלו, ואת הצל של מקל שגובהו ידוע.

מקל באורך $\displaystyle 1.5$ מטרים עומד זקוף על הקרקע, והצל שלו באורך $\displaystyle 2$ מטרים.
באותה שעה, הצל של עץ סמוך באורך $\displaystyle 12$ מטרים.
מה גובה העץ?

• השמש רחוקה מאוד, ולכן הקרניים שלה המגיעות למקל ולעץ מקבילות זו לזו. הזווית שבין קרן השמש לקרקע ($\displaystyle \alpha$) שווה אצל המקל ואצל העץ.
• המקל והעץ זקופים, ולכן גם הזוויות שליד הקרקע, מתחתיהם, שוות: שתיהן ישרות.
• לפי משפט הדמיון ז.ז, שני המשולשים דומים, ולכן $\displaystyle {\frac{h}{1.5}}={\frac{12}{2}}$.
• $\displaystyle {\frac{12}{2}}={6}$, ולכן $\displaystyle {h}={1.5\cdot6}={9}$: גובה העץ $\displaystyle 9$ מטרים.

נוי, שגובהה $\displaystyle 1.6$ מטרים, עומדת ליד בניין.
הצל שלה באורך $\displaystyle 2.4$ מטרים, ובאותה שעה הצל של הבניין באורך $\displaystyle 30$ מטרים.
מה גובה הבניין? כתבו פרופורציה ופתרו אותה.

במשולש $\displaystyle ABC$ הנקודה $\displaystyle D$ על הצלע $\displaystyle AB$, הנקודה $\displaystyle E$ על הצלע $\displaystyle AC$, ו-$\displaystyle DE\parallel BC$.
נתון: $\displaystyle {AD}={4}$, $\displaystyle {DB}={6}$, $\displaystyle {DE}={5}$.
מצאו את $\displaystyle BC$.