העתקות: שיקוף, הזזה וסיבוב

העתקה

העתקה מעבירה כל נקודה של צורה למקום חדש. הצורה שמתקבלת נקראת התמונה של הצורה.

את התמונה של הנקודה $\displaystyle A$ מסמנים $\displaystyle A'$ (קוראים: “A תג”).
שלוש העתקות: שיקוף, הזזה וסיבוב.

שיקוף בישר

בשיקוף הצורה מתהפכת:

\displaystyle A

\displaystyle B

\displaystyle C

מסודרות נגד כיוון השעון, ו-

\displaystyle A'

\displaystyle B'

\displaystyle C'

– עם כיוון השעון.

שיקוף בישר הופך את הצורה כמו מראה: כל נקודה עוברת לצד השני של הישר, באותו מרחק ממנו.
בשרטוט: המשולש $\displaystyle A'B'C'$ הוא התמונה של המשולש $\displaystyle ABC$ בשיקוף בישר $\displaystyle MN$ .

הקטע $\displaystyle AA'$ מאונך לישר $\displaystyle MN$ .
$\displaystyle A$ ו- $\displaystyle A'$ באותו מרחק מהישר $\displaystyle MN$ .
נקודה שנמצאת על הישר עצמו נשארת במקומה.

ציר סימטריה

כששיקוף בישר מעביר צורה על עצמה, הישר הוא ציר סימטריה של הצורה: אם מקפלים את הצורה לאורכו, שני החצאים מתלכדים.

לריבוע ארבעה צירי סימטריה: שני האלכסונים, ושני הישרים שעוברים דרך אמצעי הצלעות הנגדיות.
לאות A ציר סימטריה אחד: הקו האנכי באמצע שלה.
לאות F אין אף ציר סימטריה.

הזזה

הזזה מזיזה את כל הנקודות של הצורה באותו מרחק ובאותו כיוון.
בשרטוט: המשולש $\displaystyle A'B'C'$ הוא התמונה של המשולש $\displaystyle ABC$ בהזזה.

הקטעים $\displaystyle AA'$ , $\displaystyle BB'$ ו- $\displaystyle CC'$ שווים זה לזה ומקבילים זה לזה.
בהזזה הצורה לא מתהפכת ולא מסתובבת.
על דף משבצות מתארים הזזה במשבצות: כאן 4 משבצות ימינה ומשבצת אחת למעלה.

סיבוב

סיבוב סביב נקודה $\displaystyle O$ מסובב את הצורה כמו מחוג של שעון סביב הציר שלו.
בשרטוט: המשולש $\displaystyle A'B'C'$ הוא התמונה של המשולש $\displaystyle ABC$ בסיבוב סביב $\displaystyle O$ ב- $\displaystyle 90^{\circ}$ נגד כיוון השעון.

כל נקודה נשארת באותו מרחק מ- $\displaystyle O$ : $\displaystyle {OA}={OA'}$ .
הזווית $\displaystyle AOA'$ היא זווית הסיבוב.
בסיבוב אומרים גם את הכיוון: עם כיוון השעון או נגד כיוון השעון.
הנקודה $\displaystyle O$ , מרכז הסיבוב, נשארת במקומה.

מה נשמר בהעתקה

שיקוף, הזזה וסיבוב לא משנים אורכים ולא משנים זוויות: הצורה עוברת למקום אחר, וגודלה וצורתה נשארים כשהיו.

דמיינו את הצורה מצוירת על דף שקוף: מזיזים את הדף (הזזה), מסובבים אותו סביב סיכה (סיבוב) או הופכים אותו (שיקוף).
הדף לא נמתח ולא מתכווץ, ולכן שום אורך ושום זווית לא משתנים.
במשולש ובתמונה שלו: $\displaystyle {A'B'}={AB}$ , $\displaystyle {B'C'}={BC}$ , $\displaystyle {C'A'}={CA}$ , וגם $\displaystyle {\angle A'}={\angle A}$ , $\displaystyle {\angle B'}={\angle B}$ , $\displaystyle {\angle C'}={\angle C}$ .

תרגיל 1

מזיזים את המשולש $\displaystyle ABC$ שבשרטוט 3 משבצות שמאלה ו-4 משבצות למטה.
מה הקואורדינטות של $\displaystyle A'$ , של $\displaystyle B'$ ושל $\displaystyle C'$ ?

תרגיל 2

משקפים את המשולש $\displaystyle ABC$ מתרגיל 1.
כתבו את הקואורדינטות של $\displaystyle A'$ , של $\displaystyle B'$ ושל $\displaystyle C'$ .

שיקוף בציר ה- $\displaystyle y$ .

שיקוף בציר ה- $\displaystyle x$ .

מה קורה לקואורדינטות של נקודה בשיקוף בציר ה- $\displaystyle y$ ? ומה בשיקוף בציר ה- $\displaystyle x$ ?

תרגיל 3

מסובבים את המשולש $\displaystyle ABC$ מתרגיל 1 סביב ראשית הצירים $\displaystyle O(0,0)$ ב- $\displaystyle 180^{\circ}$ .
שרטטו את המשולש ואת התמונה שלו על דף המשבצות, וכתבו את הקואורדינטות של $\displaystyle A'$ , של $\displaystyle B'$ ושל $\displaystyle C'$ .

רמז: בסיבוב ב- $\displaystyle 180^{\circ}$ הנקודות $\displaystyle A$ , $\displaystyle O$ , $\displaystyle A'$ על ישר אחד, ו- $\displaystyle O$ באמצע בין $\displaystyle A$ ל- $\displaystyle A'$ .

תרגיל 4

כמה צירי סימטריה יש לצורה? תארו אותם.

מלבן שאינו ריבוע.

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

משולש שווה צלעות.

עיגול.

נוסחאות: גאומטריה, כיתה ח'

פתיחה בעמוד

זוויות בין ישרים מקבילים

זוויות צמודות
$\displaystyle \alpha+\beta=180^{\circ}$
זוויות קודקודיות שוות
$\displaystyle \alpha=\gamma$
בין ישרים מקבילים: זוויות מתאימות שוות, וגם זוויות מתחלפות
$\displaystyle \alpha=\beta$
בין ישרים מקבילים: זוויות חד־צדדיות
$\displaystyle \gamma+\delta=180^{\circ}$

זוויות במשולש

סכום הזוויות במשולש
$\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}$
זווית חיצונית $\displaystyle \delta$ שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה
$\displaystyle \delta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha+\beta$
במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
$\displaystyle \angle B=\angle C$ $\displaystyle AB=AC$
במשולש שווה צלעות כל הזוויות שוות
$\displaystyle \alpha=\beta=\gamma=60^{\circ}$

משפט פיתגורס

במשולש ישר־זווית – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הניצבים, $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle a^2+b^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c^2$
חישוב ניצב – מהיתר ומהניצב השני
$\displaystyle a^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c^2-b^2$

צלעות במשולש

אי־שוויון המשולש – סכום שתי צלעות גדול מהצלע השלישית
$\displaystyle a+b>c$
הצלע השלישית – בין ההפרש של שתי הצלעות האחרות לסכום שלהן
$\displaystyle a-b<c<a+b$ $\displaystyle a\ge b$

משולשים דומים

במשולשים דומים $\displaystyle \triangle ABC\sim\triangle DEF$ הצלעות המתאימות באותו יחס – $\displaystyle k$ יחס הדמיון
$\displaystyle \frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{FD}{CA}=k$
יחס ההיקפים – גם ההיקף גדל פי $\displaystyle k$
$\displaystyle P_{DEF}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k\cdot P_{ABC}$
כפל בהצלבה בפרופורציה
$\displaystyle a\cdot d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\cdot c$ $\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$