אי-שוויון המשולש

שלושה מקלות

לא כל שלושה אורכים יוצרים משולש.
יש לנו שלושה מקלות: באורך 3, 4 ו-10 ס"מ.
נניח את המקל הארוך, ונחבר מקל קצר לכל אחד מקצותיו – הקצוות $\displaystyle D$ ו- $\displaystyle E$ של המקלות הקצרים לא נפגשים:

גם כששני המקלות הקצרים שוכבים על המקל הארוך, יחד הם מכסים רק $\displaystyle {3+4}={7}$ ס"מ מתוך 10. כדי לסגור משולש, הם צריכים להיות ארוכים יותר מ-10 ס"מ ביחד.

הדרך הקצרה ביותר

הקטע $\displaystyle AB$ הוא הדרך הקצרה ביותר מ- $\displaystyle A$ ל- $\displaystyle B$ ; כל דרך אחרת ארוכה ממנו – גם הדרך שעוברת בקודקוד $\displaystyle C$ :

הדרך הישרה מ- $\displaystyle A$ ל- $\displaystyle B$ ארוכה $\displaystyle AB$ ;
הדרך מ- $\displaystyle A$ ל- $\displaystyle B$ דרך $\displaystyle C$ ארוכה $\displaystyle AC+CB$ ;
ולכן $\displaystyle AC+CB>AB$ .

אי-שוויון המשולש

אי-שוויון המשולש: בכל משולש, סכום של שתי צלעות גדול מהצלע השלישית.

במשולש שאורכי צלעותיו $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ ו- $\displaystyle c$ נכונים שלושה אי-שוויונות, אחד לכל צלע:

\displaystyle a+b>c

\displaystyle a+c>b

\displaystyle b+c>a

בדיקה אם שלושה אורכים יוצרים משולש

הצלע הארוכה לבדה כבר ארוכה מכל אחת מהאחרות, ולכן שני אי-השוויונות האחרים נכונים תמיד.

כדי לבדוק אם שלושה אורכים יוצרים משולש, מספיק לבדוק את הצלע הארוכה: המשולש קיים אם היא קצרה מסכום שתי האחרות.

5, 7 ו-10: $\displaystyle {5+7}={12}$ , ו- $\displaystyle 12>10$ – יש משולש.
3, 4 ו-10: $\displaystyle {3+4}={7}$ , ו- $\displaystyle 7<10$ – אין משולש.
3, 4 ו-7: $\displaystyle {3+4}={7}$ – שני המקלות הקצרים שוכבים בדיוק על הארוך, ולא נשאר מקום לקודקוד: אין משולש.

תרגיל 1

האם יש משולש שאלה אורכי צלעותיו? נמקו.

6 ס"מ, 8 ס"מ ו-13 ס"מ

2 ס"מ, 5 ס"מ ו-8 ס"מ

9 ס"מ, 9 ס"מ ו-17 ס"מ

4 ס"מ, 11 ס"מ ו-7 ס"מ

הצלע השלישית: בין ההפרש לסכום

כשידועים אורכי שתי צלעות במשולש, אורך הצלע השלישית קטן מסכומן וגדול מההפרש ביניהן.

\displaystyle a-b<c<a+b

\displaystyle a\ge b

דוגמה: שתי צלעות באורך 9 ו-5. לפי אי-שוויון המשולש, $\displaystyle c<9+5$ , כלומר $\displaystyle c<14$ .
וגם $\displaystyle 5+c>9$ : נחסיר 5 משני האגפים, ונקבל $\displaystyle c>4$ .
יחד: $\displaystyle 4<c<14$ .

תרגיל 2

במשולש יש שתי צלעות: באורך 6 ס"מ ובאורך 10 ס"מ.

בין אילו מספרים נמצא אורך הצלע השלישית?

אורך הצלע השלישית הוא מספר שלם של סנטימטרים. כמה אורכים כאלה אפשריים?

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

תרגיל 3

אורכי הצלעות של משולש הם $\displaystyle x$ , $\displaystyle x+3$ ו-15 ס"מ.
הצלע שאורכה 15 ס"מ היא הצלע הארוכה.
כתבו אי-שוויון לפי אי-שוויון המשולש, ופתרו אותו.

תרגיל 4

מהבית של נועה לבית הספר 800 מטר בקו ישר.
מהבית שלה למכולת 300 מטר בקו ישר.
הבית, בית הספר והמכולת אינם על קו ישר אחד.
בין אילו מספרים נמצא המרחק בקו ישר בין המכולת לבית הספר?

נוסחאות: גאומטריה, כיתה ח'

פתיחה בעמוד

זוויות בין ישרים מקבילים

זוויות צמודות
$\displaystyle \alpha+\beta=180^{\circ}$
זוויות קודקודיות שוות
$\displaystyle \alpha=\gamma$
בין ישרים מקבילים: זוויות מתאימות שוות, וגם זוויות מתחלפות
$\displaystyle \alpha=\beta$
בין ישרים מקבילים: זוויות חד־צדדיות
$\displaystyle \gamma+\delta=180^{\circ}$

זוויות במשולש

סכום הזוויות במשולש
$\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}$
זווית חיצונית $\displaystyle \delta$ שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה
$\displaystyle \delta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha+\beta$
במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
$\displaystyle \angle B=\angle C$ $\displaystyle AB=AC$
במשולש שווה צלעות כל הזוויות שוות
$\displaystyle \alpha=\beta=\gamma=60^{\circ}$

משפט פיתגורס

במשולש ישר־זווית – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הניצבים, $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle a^2+b^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c^2$
חישוב ניצב – מהיתר ומהניצב השני
$\displaystyle a^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c^2-b^2$

צלעות במשולש

אי־שוויון המשולש – סכום שתי צלעות גדול מהצלע השלישית
$\displaystyle a+b>c$
הצלע השלישית – בין ההפרש של שתי הצלעות האחרות לסכום שלהן
$\displaystyle a-b<c<a+b$ $\displaystyle a\ge b$

משולשים דומים

במשולשים דומים $\displaystyle \triangle ABC\sim\triangle DEF$ הצלעות המתאימות באותו יחס – $\displaystyle k$ יחס הדמיון
$\displaystyle \frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{FD}{CA}=k$
יחס ההיקפים – גם ההיקף גדל פי $\displaystyle k$
$\displaystyle P_{DEF}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k\cdot P_{ABC}$
כפל בהצלבה בפרופורציה
$\displaystyle a\cdot d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\cdot c$ $\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$