משולש שווה שוקיים: המשפט ההפוך

בכיתה ח’ למדתם: במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות – הזוויות שמול השוקיים.

היום הכיוון ההפוך: יודעים שתי זוויות שוות, ומסיקים שתי צלעות שוות.

משפט: משולש שיש בו שתי זוויות שוות הוא משולש שווה שוקיים: הצלעות שמול הזוויות השוות שוות.

• במשולש $\displaystyle ABC$, אם $\displaystyle {\angle B}={\angle C}$, אז $\displaystyle {AB}={AC}$.
• $\displaystyle AB$ מול $\displaystyle \angle C$, ו-$\displaystyle AC$ מול $\displaystyle \angle B$.

נתון: $\displaystyle {\angle B}={\angle C}$.
צריך להוכיח: $\displaystyle {AB}={AC}$.

בהוכחה שלפניכם נעביר את $\displaystyle AD$, חוצה הזווית $\displaystyle A$, ונוכיח שהמשולשים $\displaystyle ABD$ ו-$\displaystyle ACD$ חופפים:

כשכל שלוש הזוויות שוות, המשפט נכון לכל זוג מהן, ולכן כל הצלעות שוות: משולש ששלוש זוויותיו שוות הוא משולש שווה צלעות. כל זווית בו היא $\displaystyle 60^{\circ}$, כי $\displaystyle {180^{\circ}:3}={60^{\circ}}$.

במשולש $\displaystyle ABC$ נתון: $\displaystyle {\angle A}={80^{\circ}}$, $\displaystyle {\angle B}={50^{\circ}}$ ו-$\displaystyle {AC}={7}$.

• $\displaystyle {\angle C}={180^{\circ}-80^{\circ}-50^{\circ}}={50^{\circ}}$, כלומר $\displaystyle {\angle B}={\angle C}$;
• לכן $\displaystyle {AB}={AC}={7}$: $\displaystyle AB$ מול $\displaystyle \angle C$, ו-$\displaystyle AC$ מול $\displaystyle \angle B$.

אילו צלעות במשולש שוות? כתבו את הצלעות ונמקו.

במשולש $\displaystyle KLM$ הזווית $\displaystyle K$ היא $\displaystyle 40^{\circ}$, והזווית $\displaystyle L$ היא $\displaystyle 70^{\circ}$.

במשולש $\displaystyle PQR$ הזווית $\displaystyle P$ ישרה, ו-$\displaystyle {\angle Q}={45^{\circ}}$.

במשולש $\displaystyle ABC$ נתון: $\displaystyle {AB}={AC}$.
$\displaystyle BD$ חוצה את הזווית $\displaystyle B$, ו-$\displaystyle CE$ חוצה את הזווית $\displaystyle C$.
הם נחתכים בנקודה $\displaystyle O$.
הוכיחו: $\displaystyle {OB}={OC}$.

במשולש $\displaystyle ABC$ נתון: $\displaystyle {AB}={AC}$.
הקטע $\displaystyle DE$ מקביל ל-$\displaystyle BC$: $\displaystyle D$ על $\displaystyle AB$, ו-$\displaystyle E$ על $\displaystyle AC$.
הוכיחו: $\displaystyle {AD}={AE}$.