טרפז שווה שוקיים

הגדרת הטרפז שווה השוקיים

הגדרה: טרפז שווה שוקיים הוא טרפז ששתי השוקיים שלו שוות.

בטרפז $\displaystyle ABCD$ שבשרטוטים למטה $\displaystyle AB\parallel DC$ ו- $\displaystyle {AD}={BC}$ ;
זוויות הבסיס הן שתי הזוויות שליד אותו בסיס: $\displaystyle \angle D$ ו- $\displaystyle \angle C$ ליד הבסיס $\displaystyle DC$ , ו- $\displaystyle \angle A$ ו- $\displaystyle \angle B$ ליד הבסיס $\displaystyle AB$ .

זוויות הבסיס בטרפז שווה שוקיים

\displaystyle {AE}={BF}

כי בכל טרפז הגבהים שווים זה לזה (בשיעור הקודם). משפט החפיפה צ.צ.ז, מכיתה ח’: שני משולשים חופפים אם שתי צלעות של משולש אחד שוות לשתי צלעות של המשולש השני, והזוויות שמול הגדולה מביניהן שוות.

משפט: בטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות.

נתון: $\displaystyle AB\parallel DC$ ו- $\displaystyle {AD}={BC}$ .
צריך להוכיח: $\displaystyle {\angle D}={\angle C}$ וגם $\displaystyle {\angle DAB}={\angle CBA}$ .

בהוכחה שלפניכם נוריד את הגבהים $\displaystyle AE$ ו- $\displaystyle BF$ ונוכיח שהמשולשים $\displaystyle ADE$ ו- $\displaystyle BCF$ חופפים:

	טענה	נימוק
1	$\displaystyle {AD}={BC}$	נתון
2	$\displaystyle {AE}={BF}$	בטרפז כל הגבהים שווים
3	$\displaystyle {\angle AED}={\angle BFC}$	שתיהן $\displaystyle 90^{\circ}$ ( $\displaystyle AE$ ו- $\displaystyle BF$ גבהים)
4	$\displaystyle \triangle ADE\cong\triangle BCF$	(1), (2), (3); לפי משפט החפיפה צ.צ.ז (הזווית הישרה מול הצלע הגדולה)
5	$\displaystyle {\angle D}={\angle C}$	(4); במשולשים חופפים, מול צלעות שוות זוויות שוות
6	$\displaystyle {\angle DAB}={\angle CBA}$	(5); סכום הזוויות שליד כל שוק הוא $\displaystyle 180^{\circ}$ , ולכן $\displaystyle {\angle DAB}={180^{\circ}-\angle D}={180^{\circ}-\angle C}={\angle CBA}$

האלכסונים בטרפז שווה שוקיים

משפט: בטרפז שווה שוקיים האלכסונים שווים.

נתון: $\displaystyle AB\parallel DC$ ו- $\displaystyle {AD}={BC}$ .
צריך להוכיח: $\displaystyle {AC}={BD}$ .

האלכסונים הם צלעות במשולשים $\displaystyle ADC$ ו- $\displaystyle BCD$ . בהוכחה שלפניכם נוכיח ששני המשולשים חופפים: יש להם שוק, זווית בסיס והבסיס $\displaystyle DC$ , המשותף להם.

	טענה	נימוק
1	$\displaystyle {AD}={BC}$	נתון
2	$\displaystyle {\angle ADC}={\angle BCD}$	בטרפז שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
3	$\displaystyle {DC}={DC}$	צלע משותפת
4	$\displaystyle \triangle ADC\cong\triangle BCD$	(1), (2), (3); לפי משפט החפיפה צ.ז.צ
5	$\displaystyle {AC}={BD}$	(4); במשולשים חופפים, מול זוויות שוות צלעות שוות

המשפטים ההפוכים

כדי להוכיח שטרפז הוא שווה שוקיים, מספיק אחד מהשלושה: שוקיים שוות, זוויות בסיס שוות או אלכסונים שווים.

גם בכיוון ההפוך: טרפז שיש לו אחת משתי התכונות האלה הוא טרפז שווה שוקיים.

משפט: טרפז שזוויות הבסיס שלו שוות הוא טרפז שווה שוקיים.
משפט: טרפז שהאלכסונים שלו שווים הוא טרפז שווה שוקיים.

את שתי ההוכחות תכתבו בעצמכם, בתרגיל 2 ובתרגיל 3.

הוכחה שמרובע הוא טרפז

שני ישרים שנפגשים בנקודה אינם מקבילים.

טרפז הוא מרובע שיש בו זוג אחד בדיוק של צלעות מקבילות. לכן מוכיחים שני דברים:

זוג צלעות אחד מקביל – למשל לפי זוויות מתאימות שוות או זוויות מתחלפות שוות;
הזוג השני אינו מקביל – למשל, כי ההמשכים של שתי הצלעות נפגשים בנקודה.

נתון: $\displaystyle {AB}={AC}$ .
הנקודה $\displaystyle D$ על $\displaystyle AB$ , הנקודה $\displaystyle E$ על $\displaystyle AC$ , ו- $\displaystyle {AD}={AE}$ .
צריך להוכיח: $\displaystyle DBCE$ טרפז שווה שוקיים.

בהוכחה שלפניכם נוכיח ש- $\displaystyle DE\parallel BC$ בעזרת זוויות מתאימות, ואחר כך שהשוקיים $\displaystyle DB$ ו- $\displaystyle CE$ שוות:

	טענה	נימוק
1	$\displaystyle {AB}={AC}$	נתון
2	$\displaystyle {AD}={AE}$	נתון
3	$\displaystyle {\angle ABC}={\angle ACB}$	(1); במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
4	$\displaystyle {\angle ADE}={\angle AED}$	(2); במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
5	$\displaystyle {\angle ADE}={\angle ABC}$	(3), (4); במשולשים $\displaystyle ADE$ ו- $\displaystyle ABC$ אותה זווית $\displaystyle A$ , ושתי הזוויות האחרות בכל אחד מהם שוות, ולכן כל אחת מהן $\displaystyle \frac{180^{\circ}-\angle A}{2}$
6	$\displaystyle DE\parallel BC$	(5); אם זוויות מתאימות שוות, הישרים מקבילים
7	$\displaystyle DBCE$ טרפז	(6); $\displaystyle DB$ ו- $\displaystyle CE$ אינן מקבילות, כי הן על הישרים $\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle AC$ , שנפגשים ב- $\displaystyle A$
8	$\displaystyle {DB}={CE}$	(1), (2); $\displaystyle {DB}={AB-AD}$ ו- $\displaystyle {CE}={AC-AE}$
9	$\displaystyle DBCE$ טרפז שווה שוקיים	(7), (8); טרפז ששתי שוקיו שוות הוא טרפז שווה שוקיים (הגדרה)

תרגיל 1

$\displaystyle ABCD$ הוא טרפז שווה שוקיים, והבסיסים שלו הם $\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle DC$ .

$\displaystyle {\angle DAB}={125^{\circ}}$ .
חשבו את שאר הזוויות של הטרפז, ונמקו.

\displaystyle \angle ABC

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

\displaystyle \angle C

\displaystyle \angle D

ההיקף של הטרפז הוא $\displaystyle 30$ .
הבסיסים הם $\displaystyle {AB}={6}$ ו- $\displaystyle {DC}={12}$ .
מהו האורך של כל שוק?

תרגיל 2

בטרפז $\displaystyle ABCD$ הבסיסים הם $\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle DC$ , ו- $\displaystyle {\angle ADC}={\angle BCD}$ .
הקטעים $\displaystyle AE$ ו- $\displaystyle BF$ הם גבהים.
הוכיחו: $\displaystyle {AD}={BC}$ , כלומר הטרפז שווה שוקיים.

תרגיל 3

בטרפז $\displaystyle ABCD$ הבסיסים הם $\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle DC$ , והאלכסונים שווים: $\displaystyle {AC}={BD}$ .
הקטעים $\displaystyle AE$ ו- $\displaystyle BF$ הם גבהים.
הוכיחו: $\displaystyle {AD}={BC}$ , כלומר הטרפז שווה שוקיים.

תרגיל 4

$\displaystyle ABCD$ הוא טרפז שווה שוקיים: $\displaystyle AB\parallel DC$ ו- $\displaystyle {AD}={BC}$ .
האלכסונים נחתכים בנקודה $\displaystyle O$ .
הוכיחו: $\displaystyle {OD}={OC}$ .

נוסחאות: גאומטריה, כיתה ט'

פתיחה בעמוד

זוויות וצלעות במשולש

סכום הזוויות במשולש
$\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}$
זווית חיצונית $\displaystyle \delta$ שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה
$\displaystyle \delta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha+\beta$
מול הצלע הגדולה מונחת הזווית הגדולה, ולהפך
$\displaystyle a>b\ \Leftrightarrow\ \alpha>\beta$

המשולש ישר הזווית

משפט פיתגורס – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הניצבים, $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle a^{2}+b^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c^{2}$
הניצב $\displaystyle a$ שמול זווית של $\displaystyle 30^{\circ}$ שווה למחצית היתר $\displaystyle c$
$\displaystyle a$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}c$
התיכון ליתר $\displaystyle m_c$ שווה למחצית היתר $\displaystyle c$
$\displaystyle m_c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}c$

זוויות בין ישרים מקבילים

זוויות מתאימות שוות, וגם זוויות מתחלפות
$\displaystyle \alpha=\beta$
זוויות חד־צדדיות
$\displaystyle \alpha+\beta=180^{\circ}$

זוויות במרובע

סכום הזוויות במרובע
$\displaystyle \alpha+\beta+\gamma+\delta=360^{\circ}$
בטרפז: שתי הזוויות שליד שוק
$\displaystyle \alpha+\beta=180^{\circ}$

שטחים

שטח משולש – $\displaystyle h_a$ הגובה לצלע $\displaystyle a$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a\cdot h_a}{2}$
שטח מקבילית – $\displaystyle h_a$ הגובה לצלע $\displaystyle a$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\cdot h_a$
שטח מלבן
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\cdot b$
שטח ריבוע
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}$
שטח טרפז – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הבסיסים, $\displaystyle h$ הגובה
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{(a+b)\cdot h}{2}$
שטח מעוין או דלתון – $\displaystyle d_1$ , $\displaystyle d_2$ האלכסונים
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{d_1\cdot d_2}{2}$
יחס השטחים של משולשים דומים – $\displaystyle k$ יחס הדמיון
$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k^{2}$