משולש שווה שוקיים: חוצה זווית, תיכון וגובה

חוצה זווית הראש, התיכון והגובה לבסיס

בכיתה ח’ למדתם: במשולש שווה שוקיים, חוצה זווית הראש, התיכון לבסיס והגובה לבסיס מתלכדים – הם אותו קטע.

היום הכיוון ההפוך: מספיק ששניים מהשלושה מתלכדים, והמשולש שווה שוקיים.

שלושה קטעים מקודקוד

במשולש $\displaystyle ABC$ הקטע $\displaystyle AD$ יוצא מהקודקוד $\displaystyle A$ אל הצלע שמולו, $\displaystyle BC$ . הוא יכול להיות:

חוצה זווית – כשהוא מחלק את הזווית $\displaystyle A$ לשתי זוויות שוות: $\displaystyle {\angle BAD}={\angle CAD}$ ;
תיכון – כשהנקודה $\displaystyle D$ היא אמצע הצלע: $\displaystyle {BD}={CD}$ ;
גובה – כשהוא מאונך לצלע: $\displaystyle AD\perp BC$ .

המשפטים ההפוכים

השוקיים נפגשות בקודקוד שממנו יוצא הקטע.

משפט: אם במשולש מתלכדים שניים מבין חוצה הזווית, התיכון והגובה שיוצאים מאותו קודקוד, המשולש שווה שוקיים.

אלה שלושה משפטים, אחד לכל זוג. במשולש $\displaystyle ABC$ הנקודה $\displaystyle D$ על הצלע $\displaystyle BC$ , ו- $\displaystyle {AB}={AC}$ אם הקטע $\displaystyle AD$ הוא:

חוצה זווית וגם גובה;
חוצה זווית וגם תיכון;
תיכון וגם גובה.

חוצה זווית שהוא גם גובה

נתון: $\displaystyle AD\perp BC$ ו- $\displaystyle {\angle BAD}={\angle CAD}$ .
צריך להוכיח: $\displaystyle {AB}={AC}$ .

בהוכחה שלפניכם נראה שהמשולשים $\displaystyle ABD$ ו- $\displaystyle ACD$ חופפים לפי ז.צ.ז: שתי הזוויות שליד $\displaystyle AD$ שוות, ו- $\displaystyle AD$ צלע משותפת.

	טענה	נימוק
1	$\displaystyle {\angle ADB}={\angle ADC}={90^{\circ}}$	$\displaystyle AD$ גובה (נתון)
2	$\displaystyle {\angle BAD}={\angle CAD}$	$\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$ (נתון)
3	$\displaystyle {AD}={AD}$	צלע משותפת
4	$\displaystyle \triangle ABD\cong\triangle ACD$	(1), (2), (3); לפי משפט החפיפה ז.צ.ז
5	$\displaystyle {AB}={AC}$	(4); במשולשים חופפים, מול זוויות שוות צלעות שוות

חוצה זווית שהוא גם תיכון

נתון: $\displaystyle {\angle BAD}={\angle CAD}$ ו- $\displaystyle {BD}={CD}$ .
צריך להוכיח: $\displaystyle {AB}={AC}$ .

בהוכחה שלפניכם נבנה בניית עזר: נאריך את $\displaystyle AD$ מעבר ל- $\displaystyle D$ עד הנקודה $\displaystyle E$ , כך ש- $\displaystyle {DE}={AD}$ , ונחבר את $\displaystyle E$ ל- $\displaystyle C$ :

המשולש $\displaystyle ECD$ חופף למשולש $\displaystyle ABD$ , ולכן $\displaystyle {EC}={AB}$ ;
במשולש $\displaystyle ACE$ יש שתי זוויות שוות, ולכן $\displaystyle {EC}={AC}$ .

	טענה	נימוק
1	$\displaystyle {BD}={CD}$	$\displaystyle AD$ תיכון (נתון)
2	$\displaystyle {AD}={DE}$	בנייה
3	$\displaystyle {\angle ADB}={\angle EDC}$	זוויות קודקודיות שוות
4	$\displaystyle \triangle ABD\cong\triangle ECD$	(1), (2), (3); לפי משפט החפיפה צ.ז.צ
5	$\displaystyle {AB}={EC}$	(4); צלעות מתאימות במשולשים חופפים
6	$\displaystyle {\angle BAD}={\angle CED}$	(4); זוויות מתאימות במשולשים חופפים
7	$\displaystyle {\angle BAD}={\angle CAD}$	$\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$ (נתון)
8	$\displaystyle {\angle CAD}={\angle CED}$	(6), (7)
9	$\displaystyle {AC}={EC}$	(8); משולש שיש בו שתי זוויות שוות הוא שווה שוקיים
10	$\displaystyle {AB}={AC}$	(5), (9)

חישוב בעזרת המשפטים

קודם מוצאים אילו שניים מהשלושה נתונים – אז המשולש שווה שוקיים.

במשולש $\displaystyle ABC$ הגובה $\displaystyle AD$ הוא גם חוצה הזווית $\displaystyle A$ .
נתון: $\displaystyle {\angle BAD}={25^{\circ}}$ ו- $\displaystyle {AB}={9}$ .

$\displaystyle AD$ גובה וגם חוצה זווית, ולכן המשולש שווה שוקיים: $\displaystyle {AC}={AB}={9}$ ;
הזווית $\displaystyle B$ במשולש $\displaystyle ABD$ היא $\displaystyle {180^{\circ}-90^{\circ}-25^{\circ}}={65^{\circ}}$ ;
זוויות הבסיס שוות, ולכן גם $\displaystyle {\angle C}={65^{\circ}}$ , וזווית הראש היא $\displaystyle {\angle BAC}={2\cdot25^{\circ}}={50^{\circ}}$ .

תרגיל 1

הוכיחו את המשפט השלישי: תיכון שהוא גם גובה.

נתון: $\displaystyle {BD}={CD}$ ו- $\displaystyle AD\perp BC$ .
צריך להוכיח: $\displaystyle {AB}={AC}$ .

תרגיל 2

חשבו, ונמקו כל שלב.

במשולש $\displaystyle KLM$ הקטע $\displaystyle KN$ הוא התיכון לצלע $\displaystyle LM$ , וגם הגובה אליה.
נתון: $\displaystyle {KL}={11}$ ו- $\displaystyle {\angle L}={52^{\circ}}$ .
מצאו את $\displaystyle KM$ ואת הזווית $\displaystyle LKM$ .

\displaystyle KM

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

\displaystyle \angle LKM

במשולש $\displaystyle PQR$ חוצה הזווית $\displaystyle P$ הוא גם התיכון לצלע $\displaystyle QR$ .
נתון: $\displaystyle {\angle Q}={35^{\circ}}$ .
מצאו את הזווית $\displaystyle R$ ואת הזווית $\displaystyle P$ .

\displaystyle \angle R

\displaystyle \angle P

תרגיל 3

במשולש $\displaystyle ABC$ הקטע $\displaystyle BD$ חוצה את הזווית $\displaystyle B$ .
הישר שעובר דרך $\displaystyle A$ ומאונך ל- $\displaystyle BD$ חותך את $\displaystyle BD$ בנקודה $\displaystyle F$ , ואת $\displaystyle BC$ בנקודה $\displaystyle E$ .
הוכיחו: $\displaystyle {AB}={BE}$ .

נוסחאות: גאומטריה, כיתה ט'

פתיחה בעמוד

זוויות וצלעות במשולש

סכום הזוויות במשולש
$\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}$
זווית חיצונית $\displaystyle \delta$ שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה
$\displaystyle \delta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha+\beta$
מול הצלע הגדולה מונחת הזווית הגדולה, ולהפך
$\displaystyle a>b\ \Leftrightarrow\ \alpha>\beta$

המשולש ישר הזווית

משפט פיתגורס – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הניצבים, $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle a^{2}+b^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c^{2}$
הניצב $\displaystyle a$ שמול זווית של $\displaystyle 30^{\circ}$ שווה למחצית היתר $\displaystyle c$
$\displaystyle a$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}c$
התיכון ליתר $\displaystyle m_c$ שווה למחצית היתר $\displaystyle c$
$\displaystyle m_c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}c$

זוויות בין ישרים מקבילים

זוויות מתאימות שוות, וגם זוויות מתחלפות
$\displaystyle \alpha=\beta$
זוויות חד־צדדיות
$\displaystyle \alpha+\beta=180^{\circ}$

זוויות במרובע

סכום הזוויות במרובע
$\displaystyle \alpha+\beta+\gamma+\delta=360^{\circ}$
בטרפז: שתי הזוויות שליד שוק
$\displaystyle \alpha+\beta=180^{\circ}$

שטחים

שטח משולש – $\displaystyle h_a$ הגובה לצלע $\displaystyle a$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a\cdot h_a}{2}$
שטח מקבילית – $\displaystyle h_a$ הגובה לצלע $\displaystyle a$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\cdot h_a$
שטח מלבן
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\cdot b$
שטח ריבוע
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}$
שטח טרפז – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הבסיסים, $\displaystyle h$ הגובה
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{(a+b)\cdot h}{2}$
שטח מעוין או דלתון – $\displaystyle d_1$ , $\displaystyle d_2$ האלכסונים
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{d_1\cdot d_2}{2}$
יחס השטחים של משולשים דומים – $\displaystyle k$ יחס הדמיון
$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k^{2}$