הדלתון

הגדרת הדלתון

דלתון בנוי משני משולשים שווי שוקיים על בסיס משותף:

\displaystyle ABD

ו-

\displaystyle CBD

. הבסיס המשותף שלהם הוא האלכסון המשני.

הגדרה: דלתון הוא מרובע שיש בו שני זוגות של צלעות סמוכות שוות.

בדלתון $\displaystyle ABCD$ שבשרטוט, $\displaystyle {AB}={AD}$ ו- $\displaystyle {CB}={CD}$ :

בקודקודים $\displaystyle A$ ו- $\displaystyle C$ נפגשות צלעות שוות. האלכסון $\displaystyle AC$ , שמחבר אותם, הוא האלכסון הראשי.
האלכסון $\displaystyle BD$ הוא האלכסון המשני.

תכונות הדלתון

האלכסון הראשי הוא ציר הסימטריה של הדלתון: קיפול לאורכו מניח את

\displaystyle B

על

\displaystyle D

משפט: בדלתון $\displaystyle ABCD$ , שבו $\displaystyle {AB}={AD}$ ו- $\displaystyle {CB}={CD}$ :

הזוויות $\displaystyle B$ ו- $\displaystyle D$ שוות: $\displaystyle {\angle ABC}={\angle ADC}$ . בכל אחת מהן נפגשות שתי צלעות שאינן שוות.
האלכסון הראשי חוצה את הזוויות $\displaystyle A$ ו- $\displaystyle C$ : $\displaystyle {\angle BAC}={\angle DAC}$ ו- $\displaystyle {\angle BCA}={\angle DCA}$ .
האלכסון הראשי הוא האנך האמצעי של האלכסון המשני: הוא מאונך לו, $\displaystyle AC\perp BD$ , ועובר באמצעו.

הוכחת התכונות

נתון: $\displaystyle {AB}={AD}$ ו- $\displaystyle {CB}={CD}$ .
צריך להוכיח: את שלוש התכונות.

האלכסון הראשי מחלק את הדלתון למשולשים $\displaystyle ABC$ ו- $\displaystyle ADC$ . בהוכחה שלפניכם נוכיח שהם חופפים לפי צ.צ.צ, ואחר כך נעביר את האלכסון המשני $\displaystyle BD$ ונשתמש במשולש שווה השוקיים $\displaystyle ABD$ :

	טענה	נימוק
1	$\displaystyle {AB}={AD}$	נתון
2	$\displaystyle {CB}={CD}$	נתון
3	$\displaystyle {AC}={AC}$	צלע משותפת
4	$\displaystyle \triangle ABC\cong\triangle ADC$	(1), (2), (3); לפי משפט החפיפה צ.צ.צ
5	$\displaystyle {\angle ABC}={\angle ADC}$	(4); במשולשים חופפים, מול צלעות שוות זוויות שוות
6	$\displaystyle {\angle BAC}={\angle DAC}$	(4); במשולשים חופפים, מול צלעות שוות זוויות שוות
7	$\displaystyle {\angle BCA}={\angle DCA}$	(4); במשולשים חופפים, מול צלעות שוות זוויות שוות
8	$\displaystyle AC\perp BD$	(1), (6); במשולש שווה שוקיים $\displaystyle ABD$ , חוצה זווית הראש הוא גם הגובה לבסיס
9	$\displaystyle {BO}={DO}$	(1), (6); במשולש שווה שוקיים $\displaystyle ABD$ , חוצה זווית הראש הוא גם התיכון לבסיס

דלתון במערכת צירים

בשרטוט המרובע $\displaystyle ABCD$ במערכת צירים.

אורכי הצלעות, לפי משפט פיתגורס:
- $\displaystyle {AB}={\sqrt{2^{2}+3^{2}}}={\sqrt{13}}$ , וגם $\displaystyle {AD}={\sqrt{2^{2}+3^{2}}}={\sqrt{13}}$ ;
- $\displaystyle {CB}={\sqrt{4^{2}+3^{2}}}={5}$ , וגם $\displaystyle {CD}={\sqrt{4^{2}+3^{2}}}={5}$ .
לכן $\displaystyle ABCD$ דלתון, והאלכסון הראשי שלו הוא $\displaystyle AC$ .
ל- $\displaystyle A$ ול- $\displaystyle C$ אותו שיעור $\displaystyle y$ , ולכן $\displaystyle AC$ אופקי. ל- $\displaystyle B$ ול- $\displaystyle D$ אותו שיעור $\displaystyle x$ , ולכן $\displaystyle BD$ אנכי. לכן $\displaystyle AC\perp BD$ .
האלכסונים נחתכים בנקודה $\displaystyle (3,3)$ , שהיא אמצע $\displaystyle BD$ .

תרגיל 1

בדלתון $\displaystyle ABCD$ נתון: $\displaystyle {AB}={AD}$ ו- $\displaystyle {CB}={CD}$ .
חשבו את הזווית המבוקשת, ונמקו.

$\displaystyle {\angle BAD}={70^{\circ}}$ ו- $\displaystyle {\angle BCD}={50^{\circ}}$ .
חשבו את $\displaystyle \angle ABC$ .

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

$\displaystyle {\angle ABC}={110^{\circ}}$ ו- $\displaystyle {\angle BAC}={40^{\circ}}$ .
חשבו את $\displaystyle \angle BCD$ .

תרגיל 2

בדלתון $\displaystyle ABCD$ נתון: $\displaystyle {AB}={AD}$ ו- $\displaystyle {CB}={CD}$ .
הנקודה $\displaystyle E$ על האלכסון הראשי $\displaystyle AC$ .
הוכיחו: $\displaystyle {EB}={ED}$ .

תרגיל 3

במרובע $\displaystyle ABCD$ האלכסון $\displaystyle AC$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$ ואת הזווית $\displaystyle C$ .
הוכיחו: $\displaystyle ABCD$ דלתון.

תרגיל 4

בשרטוט המרובע $\displaystyle KLMN$ במערכת צירים.

חשבו את אורכי ארבע הצלעות, והראו ש- $\displaystyle KLMN$ דלתון.

\displaystyle KL

\displaystyle LM

\displaystyle MN

\displaystyle NK

איזה אלכסון הוא האלכסון הראשי? הראו שהוא האנך האמצעי של האלכסון המשני.

האלכסון $\displaystyle KM$ מחלק את הדלתון לשני משולשים, $\displaystyle KLM$ ו- $\displaystyle KNM$ .
חשבו את שטח הדלתון.

נוסחאות: גאומטריה, כיתה ט'

פתיחה בעמוד

זוויות וצלעות במשולש

סכום הזוויות במשולש
$\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}$
זווית חיצונית $\displaystyle \delta$ שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה
$\displaystyle \delta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha+\beta$
מול הצלע הגדולה מונחת הזווית הגדולה, ולהפך
$\displaystyle a>b\ \Leftrightarrow\ \alpha>\beta$

המשולש ישר הזווית

משפט פיתגורס – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הניצבים, $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle a^{2}+b^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c^{2}$
הניצב $\displaystyle a$ שמול זווית של $\displaystyle 30^{\circ}$ שווה למחצית היתר $\displaystyle c$
$\displaystyle a$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}c$
התיכון ליתר $\displaystyle m_c$ שווה למחצית היתר $\displaystyle c$
$\displaystyle m_c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}c$

זוויות בין ישרים מקבילים

זוויות מתאימות שוות, וגם זוויות מתחלפות
$\displaystyle \alpha=\beta$
זוויות חד־צדדיות
$\displaystyle \alpha+\beta=180^{\circ}$

זוויות במרובע

סכום הזוויות במרובע
$\displaystyle \alpha+\beta+\gamma+\delta=360^{\circ}$
בטרפז: שתי הזוויות שליד שוק
$\displaystyle \alpha+\beta=180^{\circ}$

שטחים

שטח משולש – $\displaystyle h_a$ הגובה לצלע $\displaystyle a$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a\cdot h_a}{2}$
שטח מקבילית – $\displaystyle h_a$ הגובה לצלע $\displaystyle a$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\cdot h_a$
שטח מלבן
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\cdot b$
שטח ריבוע
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}$
שטח טרפז – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הבסיסים, $\displaystyle h$ הגובה
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{(a+b)\cdot h}{2}$
שטח מעוין או דלתון – $\displaystyle d_1$ , $\displaystyle d_2$ האלכסונים
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{d_1\cdot d_2}{2}$
יחס השטחים של משולשים דומים – $\displaystyle k$ יחס הדמיון
$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k^{2}$