דלג לתוכן

התיכון ליתר במשולש ישר זווית

גאומטריה, כיתה ט' שיעור 19 מתוך 21לימוד

התיכון ליתר במשולש ישר זווית

תיכון ויתר

תיכון במשולש הוא קטע מקודקוד אל אמצע הצלע שמולו.

  • במשולש ישר זווית, הצלע שמול הזווית הישרה היא היתר.
  • התיכון שיוצא מקודקוד הזווית הישרה מגיע אל אמצע היתר: זה התיכון ליתר.
אורך התיכון ליתר
הנקודה M\displaystyle M נמצאת באותו מרחק משלושת הקודקודים: MA=MB=MC\displaystyle {MA}={MB}={MC}.

משפט: במשולש ישר זווית, התיכון ליתר שווה למחצית היתר.

  • במשולש ABC\displaystyle ABC הזווית B\displaystyle B ישרה, ו-M\displaystyle M אמצע היתר AC\displaystyle AC.
  • אז BM=12AC\displaystyle {BM}={\frac{1}{2}AC}, כלומר BM=AM=CM\displaystyle {BM}={AM}={CM}.
הוכחת המשפט

נתון: ∠ABC=90∘\displaystyle {\angle ABC}={90^{\circ}}, ו-BM\displaystyle BM התיכון ליתר.
צריך להוכיח: BM=12AC\displaystyle {BM}={\frac{1}{2}AC}.

בהוכחה שלפניכם נאריך את התיכון BM\displaystyle BM כאורכו, עד הנקודה D\displaystyle D, ונקבל מרובע ABCD\displaystyle ABCD:

  • האלכסונים שלו חוצים זה את זה, ולכן הוא מקבילית;
  • יש בו זווית ישרה, ולכן הוא מלבן;
  • במלבן האלכסונים שווים, ו-BM\displaystyle BM הוא חצי מאלכסון.
טענהנימוק
1∠ABC=90∘\displaystyle {\angle ABC}={90^{\circ}}נתון
2AM=CM\displaystyle {AM}={CM}נתון (BM\displaystyle BM תיכון ליתר)
3BM=DM\displaystyle {BM}={DM}בנייה (מאריכים את BM\displaystyle BM כאורכו)
4ABCD\displaystyle ABCD מקבילית(2), (3); מרובע שאלכסוניו חוצים זה את זה הוא מקבילית
5ABCD\displaystyle ABCD מלבן(1), (4); מקבילית שיש בה זווית ישרה היא מלבן
6BD=AC\displaystyle {BD}={AC}(5); במלבן האלכסונים שווים
7BM=12BD\displaystyle {BM}={\frac{1}{2}BD}(3)
8BM=12AC\displaystyle {BM}={\frac{1}{2}AC}(6), (7)
המשפט ההפוך

משפט הפוך: אם תיכון במשולש שווה למחצית הצלע שאליה הוא יורד, אז הזווית שבקודקוד שממנו הוא יוצא ישרה.

נתון: BM\displaystyle BM תיכון במשולש ABC\displaystyle ABC, ו-BM=12AC\displaystyle {BM}={\frac{1}{2}AC}.
צריך להוכיח: ∠ABC=90∘\displaystyle {\angle ABC}={90^{\circ}}.

ההוכחה שלפניכם משתמשת בכך שהתיכון מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שוקיים, שזוויות הבסיס שלהם מרכיבות את כל זוויות המשולש:

טענהנימוק
1AM=CM\displaystyle {AM}={CM}נתון (BM\displaystyle BM תיכון)
2BM=12AC\displaystyle {BM}={\frac{1}{2}AC}נתון
3BM=AM\displaystyle {BM}={AM}(1), (2); AM\displaystyle AM הוא מחצית AC\displaystyle AC
4BM=CM\displaystyle {BM}={CM}(1), (3)
5∠BAM=∠ABM\displaystyle {\angle BAM}={\angle ABM}(3); במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
6∠BCM=∠CBM\displaystyle {\angle BCM}={\angle CBM}(4); במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
7∠ABC=∠ABM+∠CBM\displaystyle {\angle ABC}={\angle ABM+\angle CBM}הקטע BM\displaystyle BM מחלק את הזווית B\displaystyle B לשתי זוויות
8∠BAC+∠ABC+∠BCA=180∘\displaystyle {\angle BAC+\angle ABC+\angle BCA}={180^{\circ}}סכום הזוויות במשולש הוא 180∘\displaystyle 180^{\circ}
92∠ABC=180∘\displaystyle {2\angle ABC}={180^{\circ}}(5), (6), (7), (8); ∠BAC+∠BCA=∠ABM+∠CBM=∠ABC\displaystyle {\angle BAC+\angle BCA}={\angle ABM+\angle CBM}={\angle ABC}
10∠ABC=90∘\displaystyle {\angle ABC}={90^{\circ}}(9)
חישוב בעזרת המשפט
התיכון ליתר מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שוקיים.

במשולש ABC\displaystyle ABC הזווית B\displaystyle B ישרה, AB=6\displaystyle {AB}={6}, BC=8\displaystyle {BC}={8}, ו-BM\displaystyle BM התיכון ליתר.

  • לפי משפט פיתגורס: AC=62+82=100=10\displaystyle {AC}={\sqrt{6^2+8^2}}={\sqrt{100}}={10};
  • לכן BM=12⋅10=5\displaystyle {BM}={\frac{1}{2}\cdot10}={5}, וגם AM=CM=5\displaystyle {AM}={CM}={5};
  • המשולש ABM\displaystyle ABM שווה שוקיים (AM=BM\displaystyle {AM}={BM}), ולכן ∠ABM=∠A\displaystyle {\angle ABM}={\angle A}.
תרגיל 1

חשבו, ונמקו כל צעד.

א

אורכי הניצבים במשולש ישר זווית הם 5\displaystyle 5 ו-12\displaystyle 12.
מה אורך התיכון ליתר?

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    במשולש KLM\displaystyle KLM הזווית L\displaystyle L ישרה.
    אורך התיכון ליתר LN\displaystyle LN הוא 7.5\displaystyle 7.5, ו-KL=9\displaystyle {KL}={9}.
    חשבו את LM\displaystyle LM.

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

      במשולש ABC\displaystyle ABC הזווית B\displaystyle B ישרה, ו-BM\displaystyle BM התיכון ליתר.
      הזווית A\displaystyle A היא 28∘\displaystyle 28^{\circ}.
      חשבו את ∠ABM\displaystyle \angle ABM ואת ∠BMC\displaystyle \angle BMC.

      ∠ABM\displaystyle \angle ABM

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ∠BMC\displaystyle \angle BMC

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ד

          במשולש PQR\displaystyle PQR הקטע PS\displaystyle PS הוא תיכון לצלע QR\displaystyle QR.
          נתון: PS=5\displaystyle {PS}={5} ו-QR=10\displaystyle {QR}={10}.
          כמה מעלות בזווית QPR\displaystyle QPR?

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            תרגיל 2

            במרובע ABCD\displaystyle ABCD הזוויות B\displaystyle B ו-D\displaystyle D ישרות, ו-M\displaystyle M אמצע האלכסון AC\displaystyle AC.
            הוכיחו: MB=MD\displaystyle {MB}={MD}.

            תרגיל 3

            ABCD\displaystyle ABCD מעוין.
            האלכסונים שלו נחתכים בנקודה O\displaystyle O, ו-K\displaystyle K אמצע הצלע AB\displaystyle AB.
            הוכיחו: OK=12AB\displaystyle {OK}={\frac{1}{2}AB}.

            תרגיל 4

            במרובע ABCD\displaystyle ABCD הנקודה M\displaystyle M היא אמצע האלכסון AC\displaystyle AC, ו-MB=MD=MA\displaystyle {MB}={MD}={MA}.
            הוכיחו: ∠ABC=∠ADC\displaystyle {\angle ABC}={\angle ADC}.