ישרים מקבילים: המשפטים ההפוכים

בכיתה ח’ למדתם מה קורה כשישר חותך שני ישרים מקבילים. בשרטוט הישר $\displaystyle EF$ חותך את הישרים המקבילים $\displaystyle AB$ ו-$\displaystyle CD$:

• זוויות מתאימות שוות: $\displaystyle {\alpha}={\beta}$. הן באותו מקום בשתי נקודות החיתוך.
• זוויות מתחלפות שוות: $\displaystyle {\gamma}={\beta}$. שתיהן בין הישרים, משני צדי החותך.
• סכום זוויות חד־צדדיות הוא $\displaystyle 180^{\circ}$: $\displaystyle {\gamma+\delta}={180^{\circ}}$. שתיהן בין הישרים, באותו צד של החותך.

היום הכיוון ההפוך: יודעים משהו על הזוויות, ומסיקים שהישרים מקבילים.

משפט: ישר חותך שני ישרים. אם מתקיים אחד משלושת התנאים האלה, הישרים מקבילים:

• שתי זוויות מתאימות שוות;
• שתי זוויות מתחלפות שוות;
• סכום שתי זוויות חד־צדדיות הוא $\displaystyle 180^{\circ}$.

בהוכחה שלפניכם נניח שהזוויות המתחלפות $\displaystyle \gamma$ ו-$\displaystyle \beta$ שוות, אבל הישרים אינם מקבילים ונפגשים בנקודה $\displaystyle S$, כמו בשרטוט – ונגיע לסתירה.

• נוצר המשולש $\displaystyle PQS$. הזווית $\displaystyle \gamma$ היא זווית חיצונית שלו, והזווית $\displaystyle \beta$ היא זווית פנימית שאינה צמודה לה.
• זווית חיצונית שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה, ולכן היא גדולה מכל אחת מהן: $\displaystyle \gamma>\beta$.
• זה סותר את ההנחה ש-$\displaystyle {\gamma}={\beta}$. לכן הישרים לא נפגשים – הם מקבילים.

שני התנאים האחרים מביאים לאותן זוויות מתחלפות שוות (בשרטוט שבתחילת השיעור):

• זוויות מתאימות שוות, $\displaystyle {\alpha}={\beta}$: גם $\displaystyle {\alpha}={\gamma}$, כי הן זוויות קודקודיות. לכן $\displaystyle {\gamma}={\beta}$.
• זוויות חד־צדדיות, $\displaystyle {\gamma+\delta}={180^{\circ}}$: גם $\displaystyle {\beta+\delta}={180^{\circ}}$, כי הן זוויות צמודות. לכן $\displaystyle {\gamma}={\beta}$.

בשרטוט שבתחילת השיעור, בלי לדעת מראש שהישרים מקבילים:

• אם $\displaystyle {\angle EPB}={72^{\circ}}$ ו-$\displaystyle {\angle PQD}={72^{\circ}}$: אלה זוויות מתאימות שוות, לכן $\displaystyle AB\parallel CD$.
• אם $\displaystyle {\angle BPQ}={115^{\circ}}$ ו-$\displaystyle {\angle PQD}={65^{\circ}}$: אלה זוויות חד־צדדיות, ו-$\displaystyle {115^{\circ}+65^{\circ}}={180^{\circ}}$, לכן $\displaystyle AB\parallel CD$.
• אם $\displaystyle {\angle APQ}={48^{\circ}}$ ו-$\displaystyle {\angle PQD}={50^{\circ}}$: אלה זוויות מתחלפות, והן אינן שוות. אילו הישרים היו מקבילים, הן היו שוות (המשפט מכיתה ח’). לכן $\displaystyle AB$ ו-$\displaystyle CD$ אינם מקבילים.

הקטעים $\displaystyle AD$ ו-$\displaystyle BC$ נחתכים בנקודה $\displaystyle O$, שהיא אמצע של כל אחד מהם.
נתון: $\displaystyle {AO}={DO}$ ו-$\displaystyle {BO}={CO}$.
צריך להוכיח: $\displaystyle AB\parallel CD$.

בהוכחה שלפניכם נוכיח שהמשולשים $\displaystyle AOB$ ו-$\displaystyle DOC$ חופפים; מהחפיפה יוצאות שתי זוויות מתחלפות שוות:

בשרטוט הישר $\displaystyle EF$ חותך את $\displaystyle AB$ ואת $\displaystyle CD$.
בכל סעיף: האם $\displaystyle AB\parallel CD$? נמקו.

$\displaystyle {\angle BPQ}={70^{\circ}}$ ו-$\displaystyle {\angle PQD}={110^{\circ}}$.

$\displaystyle {\angle APQ}={64^{\circ}}$ ו-$\displaystyle {\angle PQD}={64^{\circ}}$.

$\displaystyle {\angle EPB}={75^{\circ}}$ ו-$\displaystyle {\angle CQF}={85^{\circ}}$.

$\displaystyle {\angle APQ}={108^{\circ}}$ ו-$\displaystyle {\angle PQD}={72^{\circ}}$.

במשולש $\displaystyle ABC$ נתון: $\displaystyle {AB}={AC}$.
הצלע $\displaystyle BA$ הוארכה מעבר לנקודה $\displaystyle A$ עד הנקודה $\displaystyle E$, והקטע $\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle EAC$.
הוכיחו: $\displaystyle AD\parallel BC$.

במשולש $\displaystyle ABC$ נתון: $\displaystyle {AB}={AC}$.
הנקודה $\displaystyle D$ על $\displaystyle AB$, הנקודה $\displaystyle E$ על $\displaystyle AC$, ו-$\displaystyle {AD}={AE}$.
הוכיחו: $\displaystyle DE\parallel BC$.