המקבילית: הגדרה ותכונות

הגדרה: מקבילית היא מרובע שבו כל שתי צלעות נגדיות מקבילות.

• את קודקודי המרובע כותבים לפי הסדר, מסביב: $\displaystyle A$, $\displaystyle B$, $\displaystyle C$ ו-$\displaystyle D$.
• במקבילית $\displaystyle ABCD$ שני זוגות של צלעות מקבילות: $\displaystyle AB\parallel DC$ ו-$\displaystyle AD\parallel BC$.

משפט: במקבילית $\displaystyle ABCD$:

• הצלעות הנגדיות שוות: $\displaystyle {AB}={DC}$ ו-$\displaystyle {AD}={BC}$;
• הזוויות הנגדיות שוות: $\displaystyle {\angle A}={\angle C}$ ו-$\displaystyle {\angle B}={\angle D}$;
• סכום שתי זוויות סמוכות הוא $\displaystyle 180^{\circ}$, למשל $\displaystyle {\angle A+\angle B}={180^{\circ}}$ – הן זוויות חד־צדדיות בין הישרים המקבילים $\displaystyle AD$ ו-$\displaystyle BC$;
• האלכסונים חוצים זה את זה: הנקודה שבה הם נחתכים היא אמצע של כל אחד מהם.

נתון: $\displaystyle ABCD$ מקבילית.
צריך להוכיח: $\displaystyle {AB}={CD}$, $\displaystyle {BC}={DA}$, וגם $\displaystyle {\angle ABC}={\angle CDA}$ ו-$\displaystyle {\angle DAB}={\angle BCD}$.

בהוכחה שלפניכם נעביר את האלכסון $\displaystyle AC$, שמחלק את המקבילית לשני משולשים, ונוכיח שהם חופפים:

נתון: $\displaystyle ABCD$ מקבילית, והאלכסונים שלה נחתכים בנקודה $\displaystyle O$.
צריך להוכיח: $\displaystyle {AO}={CO}$ ו-$\displaystyle {BO}={DO}$.

בהוכחה שלפניכם נוכיח שהמשולשים $\displaystyle AOB$ ו-$\displaystyle COD$ חופפים, ונשתמש כבר בתכונה הקודמת: הצלעות הנגדיות שוות.

במקבילית $\displaystyle ABCD$ נתון: $\displaystyle {\angle A}={60^{\circ}}$, $\displaystyle {AB}={8}$ ו-$\displaystyle {BC}={7}$.
האלכסון $\displaystyle AC$ הוא $\displaystyle 13$.

• $\displaystyle {\angle B}={180^{\circ}-60^{\circ}}={120^{\circ}}$, כי סכום זוויות סמוכות הוא $\displaystyle 180^{\circ}$;
• $\displaystyle {\angle C}={\angle A}={60^{\circ}}$ ו-$\displaystyle {\angle D}={\angle B}={120^{\circ}}$, כי הזוויות הנגדיות שוות;
• $\displaystyle {CD}={AB}={8}$ ו-$\displaystyle {AD}={BC}={7}$, ולכן ההיקף הוא $\displaystyle {2\cdot(8+7)}={30}$;
• האלכסונים חוצים זה את זה בנקודה $\displaystyle O$, ולכן $\displaystyle {AO}={OC}={6.5}$.

הנקודות $\displaystyle A$, $\displaystyle B$, $\displaystyle C$ ו-$\displaystyle D$ הן קודקודי המרובע $\displaystyle ABCD$.
הוא מקבילית, לפי ההגדרה:

• $\displaystyle AB$ ו-$\displaystyle DC$ אופקיות: לכל נקודה על $\displaystyle AB$ שיעור ה-$\displaystyle y$ הוא $\displaystyle 1$, ועל $\displaystyle DC$ הוא $\displaystyle 4$. לכן $\displaystyle AB\parallel DC$.
• מ-$\displaystyle A$ ל-$\displaystyle D$ זזים $\displaystyle 2$ ימינה ו-$\displaystyle 3$ למעלה, וגם מ-$\displaystyle B$ ל-$\displaystyle C$. לשני הקטעים אותו שיפוע, $\displaystyle \frac{3}{2}$, ולכן $\displaystyle AD\parallel BC$.

את אורך הצלע $\displaystyle AD$ מוצאים לפי משפט פיתגורס: $\displaystyle {AD}={\sqrt{2^2+3^2}}={\sqrt{13}}$. גם $\displaystyle {BC}={\sqrt{13}}$, כמו שהתכונה אומרת.

$\displaystyle ABCD$ מקבילית.
חשבו.

$\displaystyle {\angle A}={65^{\circ}}$.
מצאו את שאר הזוויות של המקבילית.

הזווית $\displaystyle A$ גדולה פי שניים מהזווית $\displaystyle B$.
מצאו את שתי הזוויות.

היקף המקבילית הוא $\displaystyle 30$, ו-$\displaystyle {AB}={9}$.
מצאו את $\displaystyle BC$.

האלכסונים של המקבילית $\displaystyle ABCD$ נחתכים בנקודה $\displaystyle O$.
נתון: $\displaystyle {AC}={14}$, $\displaystyle {BD}={10}$ ו-$\displaystyle {AB}={8}$.
מה ההיקף של המשולש $\displaystyle AOB$?

הנקודות $\displaystyle A$, $\displaystyle B$ ו-$\displaystyle C$ הן שלושה קודקודים של המקבילית $\displaystyle ABCD$.

מצאו את הקודקוד $\displaystyle D$, ונמקו.

חשבו את אורך הצלע $\displaystyle BC$ ואת היקף המקבילית.

$\displaystyle ABCD$ מקבילית, ו-$\displaystyle BD$ אלכסון שלה.
מהקודקודים $\displaystyle A$ ו-$\displaystyle C$ מורידים אנכים לאלכסון: $\displaystyle AE\perp BD$ ו-$\displaystyle CF\perp BD$.
הוכיחו: $\displaystyle {AE}={CF}$.

$\displaystyle ABCD$ מקבילית.
הנקודה $\displaystyle E$ על הצלע $\displaystyle AB$, והנקודה $\displaystyle F$ על הצלע $\displaystyle CD$, כך ש-$\displaystyle {AE}={CF}$.
הוכיחו: $\displaystyle {DE}={BF}$.