הוכחה שמרובע הוא מקבילית

בשיעור הקודם למדתם את תכונות המקבילית: הצלעות הנגדיות שוות, הזוויות הנגדיות שוות, והאלכסונים חוצים זה את זה.

היום הכיוון ההפוך: מרובע שיש בו אחת מהתכונות האלה הוא מקבילית.

משפט: מרובע הוא מקבילית אם מתקיים בו אחד מאלה:

• כל שתי צלעות נגדיות שוות;
• שתי צלעות נגדיות מקבילות ושוות;
• האלכסונים חוצים זה את זה;
• כל שתי זוויות נגדיות שוות.

נתון: $\displaystyle {AB}={CD}$ ו-$\displaystyle {BC}={DA}$.
צריך להוכיח: $\displaystyle ABCD$ מקבילית.

בהוכחה שלפניכם נעביר את האלכסון $\displaystyle AC$ ונוכיח שהמשולשים $\displaystyle ABC$ ו-$\displaystyle CDA$ חופפים. מהזוויות השוות שבהם נסיק שהצלעות הנגדיות מקבילות.

נתון: $\displaystyle AB\parallel DC$ ו-$\displaystyle {AB}={DC}$.
צריך להוכיח: $\displaystyle ABCD$ מקבילית.

גם בהוכחה שלפניכם נעביר את האלכסון $\displaystyle AC$, והפעם נוכיח שהמשולשים חופפים לפי צ.ז.צ.

במרובע $\displaystyle ABCD$ נתון: $\displaystyle {\angle A}={\angle C}$ ו-$\displaystyle {\angle B}={\angle D}$.
בהוכחה שלפניכם נראה שסכום כל שתי זוויות סמוכות הוא $\displaystyle 180^{\circ}$, ולכן הצלעות הנגדיות מקבילות:

• סכום הזוויות במרובע הוא $\displaystyle 360^{\circ}$, ולכן $\displaystyle {2\angle A+2\angle B}={360^{\circ}}$, כלומר $\displaystyle {\angle A+\angle B}={180^{\circ}}$.
• $\displaystyle \angle A$ ו-$\displaystyle \angle B$ הן זוויות חד־צדדיות בין הישרים $\displaystyle AD$ ו-$\displaystyle BC$. סכומן $\displaystyle 180^{\circ}$, ולכן $\displaystyle AD\parallel BC$.
• באותו אופן $\displaystyle {\angle A+\angle D}={180^{\circ}}$, ולכן $\displaystyle AB\parallel DC$.

הנקודות $\displaystyle A$, $\displaystyle B$, $\displaystyle C$ ו-$\displaystyle D$ הן קודקודי המרובע $\displaystyle ABCD$.
הוא מקבילית:

• $\displaystyle AB$ ו-$\displaystyle DC$ אופקיות, ולכן $\displaystyle AB\parallel DC$;
• $\displaystyle {AB}={5-1}={4}$ ו-$\displaystyle {DC}={7-3}={4}$, ולכן $\displaystyle {AB}={DC}$;
• זוג צלעות נגדיות מקבילות ושוות, ולכן $\displaystyle ABCD$ מקבילית.

האם המרובע $\displaystyle ABCD$ הוא בהכרח מקבילית? נמקו.

$\displaystyle {AB}={CD}={7}$ ו-$\displaystyle {BC}={AD}={4}$.

$\displaystyle AB\parallel DC$ ו-$\displaystyle {AD}={BC}$.

$\displaystyle {\angle A}={\angle C}={115^{\circ}}$ ו-$\displaystyle {\angle B}={65^{\circ}}$.

האלכסונים נחתכים בנקודה $\displaystyle O$.
נתון: $\displaystyle {AO}={OC}={5}$, $\displaystyle {BO}={3}$ ו-$\displaystyle {OD}={4}$.

האלכסונים של המרובע $\displaystyle ABCD$ נחתכים בנקודה $\displaystyle O$.
נתון: $\displaystyle {AO}={OC}$ ו-$\displaystyle {BO}={OD}$.
הוכיחו: $\displaystyle ABCD$ מקבילית.

$\displaystyle ABCD$ מקבילית.
הנקודות $\displaystyle E$ ו-$\displaystyle F$ על האלכסון $\displaystyle BD$, כך ש-$\displaystyle {BE}={DF}$.
הוכיחו: $\displaystyle AECF$ מקבילית.

$\displaystyle ABCD$ מקבילית.
ממשיכים את הצלע $\displaystyle AB$ מעבר ל-$\displaystyle B$ עד הנקודה $\displaystyle E$, כך ש-$\displaystyle {BE}={AB}$.
הוכיחו: $\displaystyle BECD$ מקבילית.