המלבן

הגדרה: מלבן הוא מקבילית שיש בה זווית ישרה.

מלבן הוא מקבילית, ולכן יש לו כל התכונות של המקבילית:

• הצלעות הנגדיות מקבילות ושוות;
• הזוויות הנגדיות שוות, וסכום שתי זוויות סמוכות הוא $\displaystyle 180^{\circ}$;
• האלכסונים חוצים זה את זה.

משפט: במלבן כל הזוויות ישרות.

במלבן $\displaystyle ABCD$ נתון: $\displaystyle {\angle A}={90^{\circ}}$.

• $\displaystyle {\angle B}={180^{\circ}-90^{\circ}}={90^{\circ}}$, כי סכום שתי זוויות סמוכות במקבילית הוא $\displaystyle 180^{\circ}$;
• $\displaystyle {\angle C}={\angle A}$ ו-$\displaystyle {\angle D}={\angle B}$, כי במקבילית זוויות נגדיות שוות.

משפט: במלבן האלכסונים שווים זה לזה.

• במלבן $\displaystyle ABCD$ מתקיים $\displaystyle {AC}={BD}$.
• האלכסונים גם חוצים זה את זה. אם הם נחתכים בנקודה $\displaystyle O$, אז ארבעת החצאים שווים: $\displaystyle {AO}={BO}={CO}={DO}$.

נתון: $\displaystyle ABCD$ מלבן.
צריך להוכיח: $\displaystyle {AC}={BD}$.

האלכסונים הם צלעות של המשולשים $\displaystyle DAB$ ו-$\displaystyle CBA$, ולכן בהוכחה שלפניכם נוכיח שהמשולשים האלה חופפים:

במלבן $\displaystyle ABCD$ נתון: $\displaystyle {AB}={8}$ ו-$\displaystyle {BC}={6}$.
האלכסונים נחתכים בנקודה $\displaystyle O$.

• במשולש $\displaystyle ABC$ הזווית $\displaystyle B$ ישרה. לפי משפט פיתגורס $\displaystyle {AC^2}={8^2+6^2}={100}$, ולכן $\displaystyle {AC}={10}$;
• האלכסונים שווים, ולכן גם $\displaystyle {BD}={10}$;
• האלכסונים חוצים זה את זה, ולכן $\displaystyle {AO}={BO}={CO}={DO}={5}$.

בעזרת שני משפטים הפוכים אפשר להוכיח שמרובע הוא מלבן:

משפט: מקבילית שהאלכסונים שלה שווים היא מלבן.

משפט: מרובע שיש בו שלוש זוויות ישרות הוא מלבן.

נתון: $\displaystyle ABCD$ מקבילית, ו-$\displaystyle {AC}={BD}$.
צריך להוכיח: $\displaystyle ABCD$ מלבן.

בהוכחה שלפניכם נוכיח שהזווית $\displaystyle DAB$ ישרה: המשולשים $\displaystyle DAB$ ו-$\displaystyle CBA$ חופפים, ולכן $\displaystyle {\angle DAB}={\angle CBA}$. אלה שתי זוויות סמוכות במקבילית, וסכומן $\displaystyle 180^{\circ}$.

במרובע $\displaystyle ABCD$ נתון: $\displaystyle {\angle A}={\angle B}={\angle C}={90^{\circ}}$.

• הזוויות $\displaystyle A$ ו-$\displaystyle B$ הן זוויות חד־צדדיות בין הישרים $\displaystyle AD$ ו-$\displaystyle BC$. סכומן $\displaystyle 180^{\circ}$, ולכן $\displaystyle AD\parallel BC$;
• באותו אופן, סכום הזוויות $\displaystyle B$ ו-$\displaystyle C$ הוא $\displaystyle 180^{\circ}$, ולכן $\displaystyle AB\parallel DC$;
• כלומר $\displaystyle ABCD$ מקבילית שיש בה זווית ישרה, ולכן הוא מלבן.

מרובע הוא מלבן אם מתקיים בו אחד מאלה:

• הוא מקבילית שיש בה זווית ישרה (ההגדרה);
• הוא מקבילית שהאלכסונים שלה שווים;
• יש בו שלוש זוויות ישרות.

$\displaystyle ABCD$ מלבן, והאלכסונים שלו נחתכים בנקודה $\displaystyle O$.
חשבו ונמקו.

נתון: $\displaystyle {AC}={14}$.
מצאו את $\displaystyle BO$.

נתון: $\displaystyle {\angle OAB}={35^{\circ}}$.
מצאו את הזווית $\displaystyle AOB$ ואת הזווית $\displaystyle OBC$.

נתון: $\displaystyle {AB}={12}$ ו-$\displaystyle {AD}={5}$.
מצאו את $\displaystyle AC$ ואת ההיקף של המשולש $\displaystyle AOB$.

$\displaystyle ABCD$ מלבן, והנקודה $\displaystyle M$ היא אמצע הצלע $\displaystyle AB$.
הוכיחו: $\displaystyle {MD}={MC}$.

$\displaystyle ABCD$ מקבילית, והאלכסונים שלה נחתכים בנקודה $\displaystyle O$.
נתון: $\displaystyle {OA}={OB}$.
הוכיחו: $\displaystyle ABCD$ מלבן.