המעוין

הגדרת המעוין

הגדרה: מעוין הוא מקבילית שיש בה שתי צלעות סמוכות שוות.

מעוין הוא מקבילית, ולכן יש לו כל התכונות של המקבילית: צלעות נגדיות מקבילות ושוות, זוויות נגדיות שוות, ואלכסונים שחוצים זה את זה.

צלעות המעוין

משפט: במעוין כל הצלעות שוות.

במעוין $\displaystyle ABCD$ נתון: $\displaystyle {AB}={AD}$ .

$\displaystyle {AB}={DC}$ ו- $\displaystyle {AD}={BC}$ , כי במקבילית צלעות נגדיות שוות;
לכן כל ארבע הצלעות שוות: $\displaystyle {AB}={BC}={CD}={DA}$ .

אלכסוני המעוין

מעוין הוא גם דלתון: יש בו שני זוגות של צלעות סמוכות שוות. לכן כל אחד מהאלכסונים שלו הוא אלכסון ראשי של דלתון.

משפט: במעוין האלכסונים מאונכים זה לזה, וכל אלכסון חוצה את הזוויות שהוא יוצא מהן.

במעוין $\displaystyle ABCD$ האלכסונים נחתכים בנקודה $\displaystyle O$ :

$\displaystyle AC\perp BD$ ;
$\displaystyle AC$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$ ואת הזווית $\displaystyle C$ , ו- $\displaystyle BD$ חוצה את הזווית $\displaystyle B$ ואת הזווית $\displaystyle D$ .

הוכחה: אלכסוני המעוין

נתון: $\displaystyle ABCD$ מעוין, והאלכסונים שלו נחתכים בנקודה $\displaystyle O$ .
צריך להוכיח: $\displaystyle AC\perp BD$ , ו- $\displaystyle AC$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$ .

בהוכחה שלפניכם נוכיח את שני הדברים מאותה חפיפה – של המשולשים $\displaystyle ABO$ ו- $\displaystyle ADO$ .

	טענה	נימוק
1	$\displaystyle {AB}={AD}$	במעוין כל הצלעות שוות
2	$\displaystyle {BO}={DO}$	מעוין הוא מקבילית, ובמקבילית האלכסונים חוצים זה את זה
3	$\displaystyle {AO}={AO}$	צלע משותפת
4	$\displaystyle \triangle ABO\cong\triangle ADO$	(1), (2), (3); לפי משפט החפיפה צ.צ.צ
5	$\displaystyle {\angle BAO}={\angle DAO}$	(4); במשולשים חופפים מול צלעות שוות זוויות שוות. כלומר $\displaystyle AC$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$
6	$\displaystyle {\angle AOB}={\angle AOD}$	(4); במשולשים חופפים מול צלעות שוות זוויות שוות
7	$\displaystyle {\angle AOB+\angle AOD}={180^{\circ}}$	סכום זוויות צמודות הוא $\displaystyle 180^{\circ}$
8	$\displaystyle {\angle AOB}={90^{\circ}}$	(6), (7)
9	$\displaystyle AC\perp BD$	(8)

חישוב צלע המעוין

האלכסונים מחלקים את המעוין לארבעה משולשים ישרי זווית חופפים, ובכל אחד מהם הצלע של המעוין היא היתר.

במעוין $\displaystyle ABCD$ נתון: $\displaystyle {AC}={16}$ ו- $\displaystyle {BD}={12}$ .
האלכסונים נחתכים בנקודה $\displaystyle O$ .

האלכסונים חוצים זה את זה, ולכן $\displaystyle {AO}={8}$ ו- $\displaystyle {BO}={6}$ ;
האלכסונים מאונכים זה לזה, ולכן במשולש $\displaystyle AOB$ הזווית $\displaystyle O$ ישרה;
לפי משפט פיתגורס $\displaystyle {AB^2}={8^2+6^2}={100}$ , כלומר $\displaystyle {AB}={10}$ ;
כל הצלעות שוות, ולכן ההיקף של המעוין הוא $\displaystyle {4\cdot10}={40}$ .

חישוב זוויות במעוין

במעוין $\displaystyle ABCD$ נתון: $\displaystyle {\angle ABC}={70^{\circ}}$ .
האלכסונים נחתכים בנקודה $\displaystyle O$ .

$\displaystyle BD$ חוצה את הזווית $\displaystyle B$ , ולכן $\displaystyle {\angle ABD}={35^{\circ}}$ ;
במשולש $\displaystyle AOB$ הזווית $\displaystyle O$ ישרה, ולכן $\displaystyle {\angle BAO}={180^{\circ}-90^{\circ}-35^{\circ}}={55^{\circ}}$ .

המשפטים ההפוכים

בעזרת שלושה משפטים הפוכים אפשר להוכיח שמרובע הוא מעוין:

משפט: מקבילית שהאלכסונים שלה מאונכים זה לזה היא מעוין.

משפט: מקבילית שאלכסון שלה חוצה את אחת מזוויותיה היא מעוין.

משפט: מרובע שכל ארבע צלעותיו שוות הוא מעוין.

הוכחה: מקבילית עם אלכסונים מאונכים

נתון: $\displaystyle ABCD$ מקבילית, והאלכסונים שלה מאונכים זה לזה ונחתכים בנקודה $\displaystyle O$ .
צריך להוכיח: $\displaystyle ABCD$ מעוין.

בהוכחה שלפניכם נוכיח ששתי צלעות סמוכות, $\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle CB$ , שוות: הן צלעות של המשולשים $\displaystyle AOB$ ו- $\displaystyle COB$ , החופפים זה לזה.

	טענה	נימוק
1	$\displaystyle AC\perp BD$	נתון
2	$\displaystyle {AO}={CO}$	במקבילית האלכסונים חוצים זה את זה
3	$\displaystyle {\angle AOB}={\angle COB}$	(1); שתיהן זוויות ישרות
4	$\displaystyle {BO}={BO}$	צלע משותפת
5	$\displaystyle \triangle AOB\cong\triangle COB$	(2), (3), (4); לפי משפט החפיפה צ.ז.צ
6	$\displaystyle {AB}={CB}$	(5); במשולשים חופפים מול זוויות שוות צלעות שוות
7	$\displaystyle ABCD$ מעוין	(6); מקבילית שיש בה שתי צלעות סמוכות שוות היא מעוין (הגדרה)

מקבילית שאלכסון שלה חוצה זווית

במקבילית $\displaystyle ABCD$ נתון: $\displaystyle {\angle BAC}={\angle DAC}$ , כלומר האלכסון $\displaystyle AC$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$ .

$\displaystyle {\angle DAC}={\angle BCA}$ , כי הן זוויות מתחלפות בין הישרים המקבילים $\displaystyle AD$ ו- $\displaystyle BC$ ;
לכן $\displaystyle {\angle BAC}={\angle BCA}$ , והמשולש $\displaystyle ABC$ שווה שוקיים: $\displaystyle {AB}={CB}$ ;
מקבילית שיש בה שתי צלעות סמוכות שוות היא מעוין.

מרובע שכל צלעותיו שוות

במרובע $\displaystyle ABCD$ נתון: $\displaystyle {AB}={BC}={CD}={DA}$ .

הצלעות הנגדיות שוות זו לזו בשני הזוגות, ולכן $\displaystyle ABCD$ מקבילית;
יש בה שתי צלעות סמוכות שוות, ולכן היא מעוין.

דרכים להוכיח שמרובע הוא מעוין

שימו לב: גם בדלתון האלכסונים מאונכים זה לזה. לכן אלכסונים מאונכים מוכיחים מעוין רק במקבילית.

מרובע הוא מעוין אם מתקיים בו אחד מאלה:

הוא מקבילית שיש בה שתי צלעות סמוכות שוות (ההגדרה);
כל ארבע הצלעות שלו שוות;
הוא מקבילית שהאלכסונים שלה מאונכים זה לזה;
הוא מקבילית שאלכסון שלה חוצה את אחת מזוויותיה.

תרגיל 1

$\displaystyle ABCD$ מעוין, והאלכסונים שלו נחתכים בנקודה $\displaystyle O$ .
חשבו ונמקו.

נתון: $\displaystyle {AC}={10}$ ו- $\displaystyle {BD}={24}$ .
מצאו את אורך הצלע של המעוין ואת ההיקף שלו.

\displaystyle AB

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

היקף

נתון: $\displaystyle {\angle ABC}={110^{\circ}}$ .
מצאו את הזווית $\displaystyle BAC$ ואת הזווית $\displaystyle ABD$ .

\displaystyle \angle BAC

\displaystyle \angle ABD

נתון: $\displaystyle {\angle BAD}={60^{\circ}}$ ו- $\displaystyle {AB}={6}$ .
מצאו את $\displaystyle BD$ .

תרגיל 2

$\displaystyle ABCD$ מעוין, והנקודה $\displaystyle E$ נמצאת על האלכסון $\displaystyle AC$ .
הוכיחו: $\displaystyle {EB}={ED}$ .

תרגיל 3

$\displaystyle ABCD$ דלתון: $\displaystyle {AB}={AD}$ ו- $\displaystyle {CB}={CD}$ .
נתון גם: $\displaystyle AB\parallel DC$ .
הוכיחו: $\displaystyle ABCD$ מעוין.

נוסחאות: גאומטריה, כיתה ט'

פתיחה בעמוד

זוויות וצלעות במשולש

סכום הזוויות במשולש
$\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}$
זווית חיצונית $\displaystyle \delta$ שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה
$\displaystyle \delta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha+\beta$
מול הצלע הגדולה מונחת הזווית הגדולה, ולהפך
$\displaystyle a>b\ \Leftrightarrow\ \alpha>\beta$

המשולש ישר הזווית

משפט פיתגורס – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הניצבים, $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle a^{2}+b^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c^{2}$
הניצב $\displaystyle a$ שמול זווית של $\displaystyle 30^{\circ}$ שווה למחצית היתר $\displaystyle c$
$\displaystyle a$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}c$
התיכון ליתר $\displaystyle m_c$ שווה למחצית היתר $\displaystyle c$
$\displaystyle m_c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}c$

זוויות בין ישרים מקבילים

זוויות מתאימות שוות, וגם זוויות מתחלפות
$\displaystyle \alpha=\beta$
זוויות חד־צדדיות
$\displaystyle \alpha+\beta=180^{\circ}$

זוויות במרובע

סכום הזוויות במרובע
$\displaystyle \alpha+\beta+\gamma+\delta=360^{\circ}$
בטרפז: שתי הזוויות שליד שוק
$\displaystyle \alpha+\beta=180^{\circ}$

שטחים

שטח משולש – $\displaystyle h_a$ הגובה לצלע $\displaystyle a$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a\cdot h_a}{2}$
שטח מקבילית – $\displaystyle h_a$ הגובה לצלע $\displaystyle a$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\cdot h_a$
שטח מלבן
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\cdot b$
שטח ריבוע
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}$
שטח טרפז – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הבסיסים, $\displaystyle h$ הגובה
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{(a+b)\cdot h}{2}$
שטח מעוין או דלתון – $\displaystyle d_1$ , $\displaystyle d_2$ האלכסונים
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{d_1\cdot d_2}{2}$
יחס השטחים של משולשים דומים – $\displaystyle k$ יחס הדמיון
$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k^{2}$