צלעות וזוויות במשולש

במשולש, מול צלעות שוות מונחות זוויות שוות, ומול זוויות שוות מונחות צלעות שוות.

היום: כשהצלעות שונות, מול הצלע הגדולה יותר מונחת הזווית הגדולה יותר.

משפט: אם במשולש שתי צלעות שונות זו מזו, אז מול הצלע הגדולה מביניהן מונחת הזווית הגדולה.

• במשולש $\displaystyle ABC$, אם $\displaystyle AC>AB$, אז $\displaystyle \angle B>\angle C$.
• $\displaystyle AC$ מול $\displaystyle \angle B$, ו-$\displaystyle AB$ מול $\displaystyle \angle C$.

נתון: $\displaystyle AC>AB$.
צריך להוכיח: $\displaystyle \angle ABC>\angle ACB$.

בהוכחה שלפניכם נסמן על $\displaystyle AC$ את הנקודה $\displaystyle D$, כך ש-$\displaystyle {AD}={AB}$: היא בתוך הצלע, כי $\displaystyle AC>AB$. המשולש $\displaystyle ABD$ שווה שוקיים, ולכן $\displaystyle {\angle ABD}={\angle ADB}$, וגודלן נמצא בין שתי הזוויות שמשווים:

• הזווית $\displaystyle ABD$ היא חלק מהזווית $\displaystyle ABC$, ולכן קטנה ממנה;
• הזווית $\displaystyle ADB$ חיצונית למשולש $\displaystyle BDC$, ולכן גדולה מהזווית $\displaystyle C$.

משפט: אם במשולש שתי זוויות שונות זו מזו, אז מול הזווית הגדולה מביניהן מונחת הצלע הגדולה.

במשולש $\displaystyle ABC$ נתון: $\displaystyle \angle B>\angle C$.
בהוכחה שלפניכם נשווה את $\displaystyle AC$ ל-$\displaystyle AB$: מבין שלוש האפשרויות נפסול שתיים.

• אילו $\displaystyle {AC}={AB}$, המשולש היה שווה שוקיים, וזוויות הבסיס שלו היו שוות – בניגוד לנתון;
• אילו $\displaystyle AC<AB$, לפי המשפט הזווית $\displaystyle B$ הייתה קטנה מהזווית $\displaystyle C$ – בניגוד לנתון;
• נשארת רק האפשרות $\displaystyle AC>AB$.

סדר הזוויות במשולש הוא סדר הצלעות שמולן: מול הזווית הגדולה ביותר – הצלע הגדולה ביותר, ומול הקטנה ביותר – הקטנה ביותר.

במשולש $\displaystyle ABC$ הזווית $\displaystyle A$ היא $\displaystyle 70^{\circ}$, והזווית $\displaystyle B$ היא $\displaystyle 45^{\circ}$.

• $\displaystyle {\angle C}={180^{\circ}-70^{\circ}-45^{\circ}}={65^{\circ}}$, ולכן $\displaystyle \angle A>\angle C>\angle B$;
• הצלעות שמולן, באותו סדר: $\displaystyle BC>AB>AC$.

אורכי הצלעות במשולש $\displaystyle KLM$ הם $\displaystyle {KL}={4,\ LM}={6,\ KM}={7}$.

• הצלעות מהגדולה לקטנה: $\displaystyle KM>LM>KL$;
• הזוויות שמולן, באותו סדר: $\displaystyle \angle L>\angle K>\angle M$.

סדרו את צלעות המשולש מהגדולה לקטנה, ונמקו.

במשולש $\displaystyle ABC$ הזווית $\displaystyle A$ היא $\displaystyle 50^{\circ}$, והזווית $\displaystyle B$ היא $\displaystyle 60^{\circ}$.

במשולש $\displaystyle PQR$ הזווית $\displaystyle P$ היא $\displaystyle 100^{\circ}$, והזווית $\displaystyle Q$ גדולה פי 3 מהזווית $\displaystyle R$.

סדרו את זוויות המשולש מהגדולה לקטנה, ונמקו.

אורכי הצלעות במשולש $\displaystyle DEF$ הם $\displaystyle {DE}={5,\ EF}={9,\ DF}={7}$.

במשולש $\displaystyle XYZ$ נתון: $\displaystyle {XY}={YZ}$, והזווית $\displaystyle Y$ היא $\displaystyle 50^{\circ}$.
איזו צלע היא הקטנה ביותר?

במשולש $\displaystyle ABC$ הזווית $\displaystyle C$ ישרה.
הוכיחו: $\displaystyle AB>AC$ – היתר גדול מהניצב.

במשולש $\displaystyle ABC$ הקטע $\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$.
הוכיחו: $\displaystyle AB>BD$.