דלג לתוכן

יחס השטחים של משולשים דומים

גאומטריה, כיתה ט' שיעור 20 מתוך 21לימוד

יחס השטחים של משולשים דומים

משולשים דומים

תזכורת מכיתה ח’: שני משולשים דומים כשהזוויות המתאימות שוות, והצלעות המתאימות באותו יחס.

  • בכתיבה △ABC∼△DEF\displaystyle \triangle ABC\sim\triangle DEF סדר האותיות אומר מי מתאים למי: הקודקוד A\displaystyle A מתאים ל-D\displaystyle D, הקודקוד B\displaystyle B ל-E\displaystyle E, והקודקוד C\displaystyle C ל-F\displaystyle F.
  • יחס הדמיון k\displaystyle k הוא היחס בין הצלעות המתאימות: ABDE=BCEF=CAFD=k\displaystyle {\frac{AB}{DE}}={\frac{BC}{EF}}={\frac{CA}{FD}}={k}.
  • משפטי הדמיון: ז.ז, צ.ז.צ, צ.צ.צ.
ריבוע יחס הדמיון
פי 2\displaystyle 2 בצלעות – פי 4\displaystyle 4 בשטח. פי 3\displaystyle 3 בצלעות – פי 9\displaystyle 9 בשטח.

משפט: היחס בין השטחים של שני משולשים דומים שווה לריבוע יחס הדמיון.

S1S2\displaystyle \frac{S_1}{S_2} =\displaystyle = k2\displaystyle k^2

S1\displaystyle S_1 ו-S2\displaystyle S_2 הם השטחים, ו-k\displaystyle k הוא יחס הדמיון.

הוכחה: יחס הגבהים

נתון: △ABC∼△DEF\displaystyle \triangle ABC\sim\triangle DEF, ויחס הדמיון הוא k\displaystyle k.
צריך להוכיח: SABCSDEF=k2\displaystyle {\frac{S_{ABC}}{S_{DEF}}}={k^2}.

שטח משולש הוא חצי מכפלת צלע בגובה אליה. הצלעות BC\displaystyle BC ו-EF\displaystyle EF הן ביחס k\displaystyle k. בהוכחה שלפניכם נוריד את הגבהים AH\displaystyle AH ו-DK\displaystyle DK ונוכיח שגם הם ביחס k\displaystyle k:

טענהנימוק
1△ABC∼△DEF\displaystyle \triangle ABC\sim\triangle DEFנתון
2∠ABC=∠DEF\displaystyle {\angle ABC}={\angle DEF}(1); במשולשים דומים הזוויות המתאימות שוות
3∠AHB=∠DKE\displaystyle {\angle AHB}={\angle DKE}AH\displaystyle AH ו-DK\displaystyle DK גבהים, ולכן שתי הזוויות ישרות
4△ABH∼△DEK\displaystyle \triangle ABH\sim\triangle DEK(2), (3); לפי משפט הדמיון ז.ז
5AHDK=ABDE\displaystyle {\frac{AH}{DK}}={\frac{AB}{DE}}(4); במשולשים דומים הצלעות המתאימות באותו יחס
6ABDE=BCEF\displaystyle {\frac{AB}{DE}}={\frac{BC}{EF}}(1); במשולשים דומים הצלעות המתאימות באותו יחס
מיחס הגבהים ליחס השטחים

מכאן יחס השטחים:

SABCSDEF=12⋅BC⋅AH12⋅EF⋅DK=BCEF⋅AHDK=k⋅k=k2\frac{S_{ABC}}{S_{DEF}}=\frac{\frac{1}{2}\cdot BC\cdot AH}{\frac{1}{2}\cdot EF\cdot DK}=\frac{BC}{EF}\cdot\frac{AH}{DK}=k\cdot k=k^2
  • BCEF=k\displaystyle {\frac{BC}{EF}}={k}: יחס הדמיון;
  • AHDK=k\displaystyle {\frac{AH}{DK}}={k}: הגבהים באותו יחס, לפי שלבים 5 ו-6.
מיחס הדמיון לשטח

נתון: △ABC∼△DEF\displaystyle \triangle ABC\sim\triangle DEF.
האורכים: AB=12\displaystyle {AB}={12} ו-DE=4\displaystyle {DE}={4}.
שטח המשולש DEF\displaystyle DEF הוא 10\displaystyle 10.
מה שטח המשולש ABC\displaystyle ABC?

  • יחס הדמיון: k=ABDE=124=3\displaystyle {k}={\frac{AB}{DE}}={\frac{12}{4}}={3};
  • יחס השטחים: k2=9\displaystyle {k^2}={9};
  • SABC=9⋅10=90\displaystyle {S_{ABC}}={9\cdot10}={90}.
מהשטח ליחס הדמיון
יחס הדמיון הוא השורש של יחס השטחים.

שטח המשולש ABC\displaystyle ABC הוא 50\displaystyle 50, ושטח המשולש DEF\displaystyle DEF הדומה לו הוא 18\displaystyle 18.
הצלע AB\displaystyle AB היא 10\displaystyle 10.
מה אורך DE\displaystyle DE?

  • יחס השטחים: 5018=259\displaystyle {\frac{50}{18}}={\frac{25}{9}};
  • יחס הדמיון: k=259=53\displaystyle {k}={\sqrt{\frac{25}{9}}}={\frac{5}{3}};
  • ABDE=53\displaystyle {\frac{AB}{DE}}={\frac{5}{3}}, ולכן DE=10⋅35=6\displaystyle {DE}={10\cdot\frac{3}{5}}={6}.
תרגיל 1

חשבו. כתבו בכל סעיף את יחס הדמיון ואת יחס השטחים.

א

יחס הדמיון בין שני משולשים דומים הוא 2\displaystyle 2, ושטח המשולש הקטן הוא 7\displaystyle 7.
מה שטח המשולש הגדול?

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    השטחים של שני משולשים דומים הם 12\displaystyle 12 ו-75\displaystyle 75.
    צלע במשולש הקטן היא 4\displaystyle 4.
    מה אורך הצלע המתאימה לה במשולש הגדול?

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

      כל צלע במשולש אחד ארוכה פי 3\displaystyle 3 מהצלע המתאימה לה במשולש שני.
      פי כמה גדול השטח של המשולש הראשון?

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ד

        במשולש ABC\displaystyle ABC הנקודה D\displaystyle D על AB\displaystyle AB, הנקודה E\displaystyle E על AC\displaystyle AC, ו-DE∥BC\displaystyle DE\parallel BC.
        נתון: AD=2\displaystyle {AD}={2} ו-DB=4\displaystyle {DB}={4}, ושטח המשולש ADE\displaystyle ADE הוא 5\displaystyle 5.
        חשבו את שטח המשולש ABC\displaystyle ABC ואת שטח הטרפז DBCE\displaystyle DBCE.

        SABC\displaystyle S_{ABC}

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          SDBCE\displaystyle S_{DBCE}

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            תרגיל 2

            במשולש ABC\displaystyle ABC הנקודה D\displaystyle D על הצלע AB\displaystyle AB, הנקודה E\displaystyle E על הצלע AC\displaystyle AC, ו-DE∥BC\displaystyle DE\parallel BC.

            א. הוכיחו: △ADE∼△ABC\displaystyle \triangle ADE\sim\triangle ABC.

            ב

            נתון: AD:AB=2:5\displaystyle {AD:AB}={2:5}, ושטח המשולש ABC\displaystyle ABC הוא 50\displaystyle 50.
            חשבו את שטח המשולש ADE\displaystyle ADE.

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              תרגיל 3

              במשולש ABC\displaystyle ABC הזווית C\displaystyle C ישרה, ו-CD\displaystyle CD הגובה ליתר.

              א. הוכיחו: △ACD∼△ABC\displaystyle \triangle ACD\sim\triangle ABC.

              ב

              נתון: AC=6\displaystyle {AC}={6} ו-AB=10\displaystyle {AB}={10}.
              חשבו את שטח המשולש ABC\displaystyle ABC ואת שטח המשולש ACD\displaystyle ACD.

              SABC\displaystyle S_{ABC}

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                SACD\displaystyle S_{ACD}

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה