הריבוע

גאומטריה, כיתה ט' שיעור 17 מתוך 21לימוד

הריבוע

הגדרת הריבוע

הגדרה: ריבוע הוא מרובע שהוא גם מלבן וגם מעוין.

הוא מלבן, ולכן כל הזוויות שלו ישרות;
הוא מעוין, ולכן כל הצלעות שלו שוות.

תכונות הריבוע

לכן האלכסונים מחלקים את הריבוע לארבעה משולשים ישרי זווית ושווי שוקיים.

לריבוע יש כל התכונות של המלבן וכל התכונות של המעוין:

הצלעות: כל ארבע הצלעות שוות, והצלעות הנגדיות מקבילות;
הזוויות: כל ארבע הזוויות ישרות;
האלכסונים:
- שווים זה לזה (כמו במלבן);
- חוצים זה את זה (כמו בכל מקבילית);
- מאונכים זה לזה וחוצים את זוויות הריבוע (כמו במעוין).

הוכחה: הזווית בין האלכסון לצלע

נתון: $\displaystyle ABCD$ ריבוע.
צריך להוכיח: $\displaystyle {\angle BAC}={45^{\circ}}$ .

ההוכחה שלפניכם משתמשת בתכונה של המעוין (האלכסון חוצה את הזווית) ובתכונה של המלבן (הזווית ישרה).

	טענה	נימוק
1	$\displaystyle ABCD$ ריבוע	נתון
2	$\displaystyle {\angle BAC}={\angle DAC}$	(1); ריבוע הוא מעוין, ובמעוין האלכסון חוצה את הזווית
3	$\displaystyle {\angle DAB}={90^{\circ}}$	(1); ריבוע הוא מלבן, ובמלבן כל הזוויות ישרות
4	$\displaystyle {\angle BAC+\angle DAC}={\angle DAB}$	האלכסון $\displaystyle AC$ מחלק את הזווית $\displaystyle DAB$ לשתי זוויות
5	$\displaystyle {\angle BAC}={45^{\circ}}$	(2), (3), (4)

חישוב בריבוע

בריבוע $\displaystyle ABCD$ נתון: $\displaystyle {AC}={10}$ .
האלכסונים נחתכים בנקודה $\displaystyle O$ .

האלכסונים שווים וחוצים זה את זה, ולכן $\displaystyle {AO}={BO}={5}$ ;
האלכסונים מאונכים זה לזה, ולכן במשולש $\displaystyle AOB$ הזווית $\displaystyle O$ ישרה;
לפי משפט פיתגורס $\displaystyle {AB^2}={5^2+5^2}={50}$ , כלומר $\displaystyle {AB}={\sqrt{50}\approx7.07}$ .

המשפטים ההפוכים

ריבוע הוא גם מלבן וגם מעוין. לכן מוכיחים שמרובע הוא ריבוע כך: מראים שהוא מלבן ויש בו תכונה של מעוין, או שהוא מעוין ויש בו תכונה של מלבן.

משפט: מלבן שיש בו שתי צלעות סמוכות שוות הוא ריבוע.
- מלבן הוא מקבילית, ומקבילית שיש בה שתי צלעות סמוכות שוות היא מעוין.
משפט: מלבן שהאלכסונים שלו מאונכים זה לזה הוא ריבוע.
- מקבילית שהאלכסונים שלה מאונכים זה לזה היא מעוין.
משפט: מעוין שיש בו זווית ישרה הוא ריבוע.
- מעוין הוא מקבילית, ומקבילית שיש בה זווית ישרה היא מלבן.
משפט: מעוין שהאלכסונים שלו שווים הוא ריבוע.
- מקבילית שהאלכסונים שלה שווים היא מלבן.

הוכחה: מעוין עם אלכסונים שווים

נתון: $\displaystyle ABCD$ מעוין, ו- $\displaystyle {AC}={BD}$ .
צריך להוכיח: $\displaystyle ABCD$ ריבוע.

בהוכחה שלפניכם נוכיח ש- $\displaystyle ABCD$ הוא גם מלבן.

	טענה	נימוק
1	$\displaystyle {AC}={BD}$	נתון
2	$\displaystyle ABCD$ מקבילית	מעוין הוא מקבילית
3	$\displaystyle ABCD$ מלבן	(1), (2); מקבילית שהאלכסונים שלה שווים היא מלבן
4	$\displaystyle ABCD$ ריבוע	(3); מרובע שהוא גם מלבן וגם מעוין הוא ריבוע (הגדרה)

משפחת המרובעים

כל מרובע מיוחד הוא מקרה פרטי של מרובע כללי יותר, ויש לו כל התכונות שלו:

מקבילית: מרובע שיש בו שני זוגות של צלעות נגדיות מקבילות.
- מלבן: מקבילית שיש בה זווית ישרה.
- מעוין: מקבילית שיש בה שתי צלעות סמוכות שוות.
  - ריבוע: מעוין שהוא גם מלבן.
כל ריבוע הוא מלבן, וכל ריבוע הוא מעוין.
כל מעוין הוא גם דלתון: יש בו שני זוגות של צלעות סמוכות שוות.

תרגיל 1

$\displaystyle ABCD$ ריבוע, והאלכסונים שלו נחתכים בנקודה $\displaystyle O$ .
חשבו ונמקו.

נתון: $\displaystyle {AC}={12}$ .
מצאו את $\displaystyle BO$ ואת הזווית $\displaystyle OBA$ .

\displaystyle BO

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

\displaystyle \angle OBA

ההיקף של הריבוע הוא $\displaystyle 28$ .
מצאו את אורך הצלע, את הזווית $\displaystyle AOB$ ואת הזווית $\displaystyle OAD$ .

\displaystyle AB

\displaystyle \angle AOB

\displaystyle \angle OAD

תרגיל 2

האם המרובע הוא בהכרח ריבוע? כתבו כן או לא, ונמקו.

מעוין שהאלכסונים שלו שווים.

מרובע שכל ארבע צלעותיו שוות ויש בו זווית ישרה.

מרובע שהאלכסונים שלו מאונכים זה לזה ושווים זה לזה.

מעוין שיש בו שתי זוויות סמוכות שוות.

תרגיל 3

$\displaystyle ABCD$ ריבוע.
הנקודה $\displaystyle E$ נמצאת על הצלע $\displaystyle BC$ , והנקודה $\displaystyle F$ על הצלע $\displaystyle CD$ , כך ש- $\displaystyle {BE}={CF}$ .
הוכיחו: $\displaystyle {AE}={BF}$ .

תרגיל 4

$\displaystyle ABCD$ מלבן, ונתון: $\displaystyle {\angle BAC}={\angle DAC}$ , כלומר האלכסון $\displaystyle AC$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$ .
הוכיחו: $\displaystyle ABCD$ ריבוע.

נוסחאות: גאומטריה, כיתה ט'

פתיחה בעמוד

זוויות וצלעות במשולש

סכום הזוויות במשולש
$\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}$
זווית חיצונית $\displaystyle \delta$ שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה
$\displaystyle \delta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha+\beta$
מול הצלע הגדולה מונחת הזווית הגדולה, ולהפך
$\displaystyle a>b\ \Leftrightarrow\ \alpha>\beta$

המשולש ישר הזווית

משפט פיתגורס – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הניצבים, $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle a^{2}+b^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c^{2}$
הניצב $\displaystyle a$ שמול זווית של $\displaystyle 30^{\circ}$ שווה למחצית היתר $\displaystyle c$
$\displaystyle a$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}c$
התיכון ליתר $\displaystyle m_c$ שווה למחצית היתר $\displaystyle c$
$\displaystyle m_c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}c$

זוויות בין ישרים מקבילים

זוויות מתאימות שוות, וגם זוויות מתחלפות
$\displaystyle \alpha=\beta$
זוויות חד־צדדיות
$\displaystyle \alpha+\beta=180^{\circ}$

זוויות במרובע

סכום הזוויות במרובע
$\displaystyle \alpha+\beta+\gamma+\delta=360^{\circ}$
בטרפז: שתי הזוויות שליד שוק
$\displaystyle \alpha+\beta=180^{\circ}$

שטחים

שטח משולש – $\displaystyle h_a$ הגובה לצלע $\displaystyle a$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a\cdot h_a}{2}$
שטח מקבילית – $\displaystyle h_a$ הגובה לצלע $\displaystyle a$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\cdot h_a$
שטח מלבן
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\cdot b$
שטח ריבוע
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}$
שטח טרפז – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הבסיסים, $\displaystyle h$ הגובה
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{(a+b)\cdot h}{2}$
שטח מעוין או דלתון – $\displaystyle d_1$ , $\displaystyle d_2$ האלכסונים
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{d_1\cdot d_2}{2}$
יחס השטחים של משולשים דומים – $\displaystyle k$ יחס הדמיון
$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k^{2}$