דלג לתוכן

משולש ישר זווית עם זווית של 30°

גאומטריה, כיתה ט' שיעור 5 מתוך 21לימוד

משולש ישר זווית עם זווית של 30°

גובה במשולש שווה צלעות

המשולש ABD\displaystyle ABD שווה צלעות, וכל זווית בו היא 60∘\displaystyle 60^{\circ}. הגובה AC\displaystyle AC מחלק אותו לשני משולשים ישרי זווית. משולש שווה צלעות הוא שווה שוקיים, ולכן הגובה AC\displaystyle AC הוא גם חוצה זווית וגם תיכון:

  • חוצה זווית – ולכן ∠BAC=60∘:2=30∘\displaystyle {\angle BAC}={60^{\circ}:2}={30^{\circ}};
  • תיכון – ולכן BC=12BD=12AB\displaystyle {BC}={\frac{1}{2}BD}={\frac{1}{2}AB}.

במשולש ישר הזווית ABC\displaystyle ABC הניצב BC\displaystyle BC מול הזווית של 30∘\displaystyle 30^{\circ}, והוא מחצית היתר AB\displaystyle AB.

הניצב מול זווית של 30°
הזווית השלישית במשולש כזה היא 60∘\displaystyle 60^{\circ}.

משפט: במשולש ישר זווית שאחת מזוויותיו היא 30∘\displaystyle 30^{\circ}, הניצב שמול הזווית הזו שווה למחצית היתר.

  • במשולש ABC\displaystyle ABC הזווית C\displaystyle C ישרה, ו-∠A=30∘\displaystyle {\angle A}={30^{\circ}}.
  • אז BC=12AB\displaystyle {BC}={\frac{1}{2}AB}.
הוכחת המשפט

נתון: ∠ACB=90∘\displaystyle {\angle ACB}={90^{\circ}} ו-∠BAC=30∘\displaystyle {\angle BAC}={30^{\circ}}.
צריך להוכיח: BC=12AB\displaystyle {BC}={\frac{1}{2}AB}.

בהוכחה שלפניכם נשלים את המשולש למשולש שווה צלעות: נאריך את BC\displaystyle BC מעבר ל-C\displaystyle C עד הנקודה D\displaystyle D, כך ש-CD=BC\displaystyle {CD}={BC}, ונחבר את A\displaystyle A ל-D\displaystyle D:

  • במשולש ABD\displaystyle ABD הקטע AC\displaystyle AC גובה וגם תיכון, ולכן AB=AD\displaystyle {AB}={AD};
  • כל הזוויות של המשולש ABD\displaystyle ABD הן 60∘\displaystyle 60^{\circ}, ולכן הוא שווה צלעות, ו-BC\displaystyle BC הוא מחצית הצלע BD\displaystyle BD.
טענהנימוק
1∠ACB=∠ACD=90∘\displaystyle {\angle ACB}={\angle ACD}={90^{\circ}}נתון; זוויות צמודות משלימות ל-180∘\displaystyle 180^{\circ}
2BC=CD\displaystyle {BC}={CD}בנייה
3AB=AD\displaystyle {AB}={AD}(1), (2); במשולש ABD\displaystyle ABD הקטע AC\displaystyle AC גובה וגם תיכון, ולכן המשולש שווה שוקיים
4∠ABC=60∘\displaystyle {\angle ABC}={60^{\circ}}נתון; סכום הזוויות במשולש ABC\displaystyle ABC הוא 180∘\displaystyle 180^{\circ}
5∠ADB=∠ABD=60∘\displaystyle {\angle ADB}={\angle ABD}={60^{\circ}}(3), (4); במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
6∠BAD=60∘\displaystyle {\angle BAD}={60^{\circ}}(5); סכום הזוויות במשולש ABD\displaystyle ABD הוא 180∘\displaystyle 180^{\circ}
7משולש ABD\displaystyle ABD שווה צלעות(5), (6); משולש ששלוש זוויותיו שוות הוא שווה צלעות
8BD=AB\displaystyle {BD}={AB}(7)
9BC=12AB\displaystyle {BC}={\frac{1}{2}AB}(2), (8); C\displaystyle C אמצע BD\displaystyle BD
המשפט ההפוך

משפט: במשולש ישר זווית שבו ניצב שווה למחצית היתר, הזווית שמול הניצב הזה היא 30∘\displaystyle 30^{\circ}.

  • במשולש ABC\displaystyle ABC הזווית C\displaystyle C ישרה, ו-BC=12AB\displaystyle {BC}={\frac{1}{2}AB}.
  • אז ∠A=30∘\displaystyle {\angle A}={30^{\circ}}.
תרגיל 1

הוכיחו את המשפט ההפוך, באותה בנייה: D\displaystyle D על ההמשך של BC\displaystyle BC, ו-CD=BC\displaystyle {CD}={BC}.

נתון: ∠ACB=90∘\displaystyle {\angle ACB}={90^{\circ}} ו-AB=2BC\displaystyle {AB}={2BC}.
צריך להוכיח: ∠BAC=30∘\displaystyle {\angle BAC}={30^{\circ}}.

חישובים בעזרת המשפטים
הניצב מול 30∘\displaystyle 30^{\circ} הוא הניצב הקצר: הוא מול הזווית הקטנה במשולש.

במשולש ABC\displaystyle ABC הזווית C\displaystyle C ישרה, הזווית A\displaystyle A היא 30∘\displaystyle 30^{\circ}, והיתר AB=12\displaystyle {AB}={12}.

  • הניצב BC\displaystyle BC מול הזווית של 30∘\displaystyle 30^{\circ}, ולכן BC=12⋅12=6\displaystyle {BC}={\frac{1}{2}\cdot12}={6};
  • את הניצב השני מוצאים לפי משפט פיתגורס: AC=122−62=108≈10.4\displaystyle {AC}={\sqrt{12^2-6^2}}={\sqrt{108}\approx10.4}.

במשולש KLM\displaystyle KLM הזווית M\displaystyle M ישרה, KL=10\displaystyle {KL}={10} ו-LM=5\displaystyle {LM}={5}.

  • הניצב LM\displaystyle LM הוא מחצית היתר, ולכן הזווית שמולו, ∠K\displaystyle \angle K, היא 30∘\displaystyle 30^{\circ};
  • הזווית L\displaystyle L היא 180∘−90∘−30∘=60∘\displaystyle {180^{\circ}-90^{\circ}-30^{\circ}}={60^{\circ}}.
תרגיל 2

חשבו, ונמקו כל שלב.

א

במשולש ABC\displaystyle ABC הזווית C\displaystyle C ישרה, הזווית B\displaystyle B היא 60∘\displaystyle 60^{\circ}, ו-AB=18\displaystyle {AB}={18}.
מצאו את BC\displaystyle BC.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    במשולש PQR\displaystyle PQR הזווית R\displaystyle R ישרה, הזווית P\displaystyle P היא 30∘\displaystyle 30^{\circ}, ו-QR=7\displaystyle {QR}={7}.
    מצאו את היתר PQ\displaystyle PQ ואת הניצב PR\displaystyle PR.

    PQ\displaystyle PQ

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      PR\displaystyle PR

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ג

        במשולש DEF\displaystyle DEF הזווית F\displaystyle F ישרה, DE=16\displaystyle {DE}={16} ו-EF=8\displaystyle {EF}={8}.
        מצאו את זוויות המשולש.

        ∠D\displaystyle \angle D

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ∠E\displaystyle \angle E

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            תרגיל 3

            במשולש ABC\displaystyle ABC נתון: AB=AC=10\displaystyle {AB}={AC}={10}, וזווית הראש A\displaystyle A היא 120∘\displaystyle 120^{\circ}.
            הקטע AD\displaystyle AD הוא הגובה לבסיס BC\displaystyle BC.
            מצאו את AD\displaystyle AD ואת BC\displaystyle BC.

            AD\displaystyle AD

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              BC\displaystyle BC

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                תרגיל 4

                במשולש ABC\displaystyle ABC הזווית C\displaystyle C ישרה, והזווית A\displaystyle A היא 30∘\displaystyle 30^{\circ}.
                הקטע CD\displaystyle CD הוא הגובה ליתר.
                הוכיחו: AB=4BD\displaystyle {AB}={4BD}.