טרפז

הגדרה: טרפז הוא מרובע שיש בו זוג אחד בדיוק של צלעות מקבילות.

• הצלעות המקבילות הן בסיסי הטרפז;
• שתי הצלעות האחרות הן שוקי הטרפז.

משפט: בטרפז, סכום שתי הזוויות שליד כל שוק הוא $\displaystyle 180^{\circ}$.

• השוק $\displaystyle AD$ חותכת את שני הבסיסים המקבילים, ולכן $\displaystyle \angle A$ ו-$\displaystyle \angle D$ הן זוויות חד־צדדיות;
• כך גם $\displaystyle \angle B$ ו-$\displaystyle \angle C$, שליד השוק $\displaystyle BC$;
• לדוגמה, אם $\displaystyle {\angle A}={110^{\circ}}$, אז $\displaystyle {\angle D}={180^{\circ}-110^{\circ}}={70^{\circ}}$.

נתון: $\displaystyle AB\parallel DC$.
צריך להוכיח: $\displaystyle {\angle A+\angle D}={180^{\circ}}$ וגם $\displaystyle {\angle B+\angle C}={180^{\circ}}$.

הגדרה: גובה בטרפז הוא אנך מנקודה על בסיס אחד אל הבסיס השני.

משפט: כל הגבהים בטרפז שווים זה לזה.

נתון: $\displaystyle AB\parallel DC$.
הקטעים $\displaystyle AE$ ו-$\displaystyle BF$ מאונכים ל-$\displaystyle DC$.
צריך להוכיח: $\displaystyle {AE}={BF}$.

בהוכחה שלפניכם נעביר את הקטע $\displaystyle AF$ ונוכיח שהמשולשים $\displaystyle ABF$ ו-$\displaystyle FEA$ חופפים:

כל הגבהים שווים, ולכן הגובה של טרפז, $\displaystyle h$, הוא מספר אחד: המרחק בין הבסיסים.

האלכסון $\displaystyle AC$ מחלק את הטרפז לשני משולשים, ולשניהם אותו גובה $\displaystyle h$:

• במשולש $\displaystyle ACD$ הבסיס הוא $\displaystyle {DC}={b}$, והשטח הוא $\displaystyle \frac{b\cdot h}{2}$;
• במשולש $\displaystyle ABC$ הבסיס הוא $\displaystyle {AB}={a}$, הגובה אליו מהקודקוד $\displaystyle C$ הוא $\displaystyle h$, והשטח הוא $\displaystyle \frac{a\cdot h}{2}$.

יחד, השטח של הטרפז:

במילים: סכום הבסיסים כפול הגובה, חלקי $\displaystyle 2$.

בטרפז $\displaystyle ABCD$ הבסיסים הם $\displaystyle {AB}={5}$ ו-$\displaystyle {DC}={26}$, השוקיים הן $\displaystyle {AD}={10}$ ו-$\displaystyle {BC}={17}$, והגובה הוא $\displaystyle 8$.

• השטח: $\displaystyle {S}={\frac{(5+26)\cdot8}{2}}={\frac{31\cdot8}{2}}={124}$;
• ההיקף: $\displaystyle {5+26+10+17}={58}$.

המרובע $\displaystyle ABCD$ שבמערכת הצירים הוא טרפז ישר זווית:

• לנקודות $\displaystyle A$ ו-$\displaystyle B$ אותו שיעור $\displaystyle y$, ולכן $\displaystyle AB$ מקבילה לציר $\displaystyle x$. כך גם $\displaystyle DC$, ולכן $\displaystyle AB\parallel DC$;
• $\displaystyle BC$ מאונכת לציר $\displaystyle x$, ו-$\displaystyle AD$ לא, ולכן הן אינן מקבילות;
• $\displaystyle BC$ מאונכת לבסיסים, ולכן היא גם הגובה: $\displaystyle {h}={5-1}={4}$;
• הבסיסים: $\displaystyle {AB}={6-3}={3}$ ו-$\displaystyle {DC}={6-0}={6}$;
• השוק $\displaystyle AD$, לפי משפט פיתגורס: ההפרש בשיעורי $\displaystyle x$ הוא $\displaystyle 3$, ההפרש בשיעורי $\displaystyle y$ הוא $\displaystyle 4$, ולכן $\displaystyle {AD}={\sqrt{3^2+4^2}}={5}$;
• השטח: $\displaystyle {S}={\frac{(3+6)\cdot4}{2}}={18}$, וההיקף: $\displaystyle {3+6+4+5}={18}$.

בטרפז $\displaystyle ABCD$ הבסיסים הם $\displaystyle AB$ ו-$\displaystyle DC$.
חשבו את שאר הזוויות שלו, ונמקו.

$\displaystyle {\angle A}={115^{\circ}}$ ו-$\displaystyle {\angle C}={50^{\circ}}$.

הזווית $\displaystyle B$ גדולה פי שניים מהזווית $\displaystyle C$, והזווית $\displaystyle D$ היא $\displaystyle 72^{\circ}$.

חשבו.

הבסיסים של טרפז הם $\displaystyle 7$ ו-$\displaystyle 13$, והגובה שלו הוא $\displaystyle 6$.
מהו השטח של הטרפז?

השטח של טרפז הוא $\displaystyle 45$, והבסיסים שלו הם $\displaystyle 4$ ו-$\displaystyle 11$.
מהו הגובה שלו?

ההיקף של טרפז הוא $\displaystyle 40$.
הבסיסים שלו הם $\displaystyle 8$ ו-$\displaystyle 14$, ואחת השוקיים היא $\displaystyle 7$.
מהו האורך של השוק השנייה?

במערכת הצירים משורטט המרובע $\displaystyle KLMN$.

הראו ש-$\displaystyle KLMN$ הוא טרפז: אילו צלעות מקבילות, ולמה?

חשבו את השטח של הטרפז.

חשבו את האורך של השוק $\displaystyle KN$.

בטרפז $\displaystyle ABCD$ הבסיסים הם $\displaystyle AB$ ו-$\displaystyle DC$.
האלכסון $\displaystyle DB$ חוצה את הזווית $\displaystyle D$.
הוכיחו: $\displaystyle {AD}={AB}$.