דלג לתוכן

המאורע המשלים

הסתברות, כיתה ט' שיעור 3 מתוך 11לימוד

המאורע המשלים

המאורע המשלים

המאורע המשלים של A\displaystyle A הוא המאורע “A\displaystyle A לא קורה”: כל התוצאות שאינן ב-A\displaystyle A. מסמנים אותו A‾\displaystyle \overline{A} – האות A\displaystyle A עם קו מעליה.

  • בהטלת קובייה, A\displaystyle A – “יצא 6”: {6}\displaystyle \{6\}.
  • A‾\displaystyle \overline{A} – “לא יצא 6”: {1,2,3,4,5}\displaystyle \{1,2,3,4,5\}.
  • כל תוצאה נמצאת בדיוק באחד מהם: ב-A\displaystyle A או ב-A‾\displaystyle \overline{A}.
ההסתברות של המאורע המשלים

ההסתברות של מאורע וההסתברות של המאורע המשלים שלו מסתכמות ב-1:

P(A‾)\displaystyle P(\overline{A}) =\displaystyle = 1−P(A)\displaystyle 1-P(A)
  • למה: התוצאות של A\displaystyle A ושל A‾\displaystyle \overline{A} יחד הן כל התוצאות, וההסתברות של כל התוצאות יחד היא 1.
  • בקובייה: P(A)=16\displaystyle {P(A)}={\frac{1}{6}}, ו-P(A‾)=56=1−16\displaystyle {P(\overline{A})}={\frac{5}{6}}={1-\frac{1}{6}}.
חישוב דרך המאורע המשלים

בדוגמה שלפניכם נחשב הסתברות של מאורע שיש בו הרבה תוצאות, דרך המאורע המשלים שלו – שיש בו מעט.

בקופסה 50 כרטיסים, ועליהם המספרים 1 עד 50.
מוציאים כרטיס אחד בלי להסתכל.
המאורע A\displaystyle A: המספר אינו מתחלק ב-7.

  • ב-A\displaystyle A יש הרבה תוצאות, וקשה לספור אותן.
  • A‾\displaystyle \overline{A} – “המספר מתחלק ב-7” – הוא רק שבע תוצאות: {7,14,21,28,35,42,49}\displaystyle \{7,14,21,28,35,42,49\}.
  • לכן P(A‾)=750\displaystyle {P(\overline{A})}={\frac{7}{50}}.
P(A)=1−750=4350 P(A)=1-\frac{7}{50}=\frac{43}{50}
דוגמה: הסתברות נתונה

בדוגמה שלפניכם נחשב את ההסתברות של המאורע המשלים כשנתונה רק ההסתברות של המאורע, בלי תוצאות לספור.

המאורע A\displaystyle A: מחר יירד גשם.
P(A)=0.3\displaystyle {P(A)}={0.3}.

המאורע המשלים, A‾\displaystyle \overline{A}: מחר לא יירד גשם.

P(A‾)=1−0.3=0.7 P(\overline{A})=1-0.3=0.7
תרגיל 1

מטילים קובייה.
לכל מאורע כתבו את המאורע המשלים שלו – במילים ובתוצאות.

א

יצא מספר זוגי.

ב

יצא מספר גדול מ-2.

ג

יצא 1 או 6.

תרגיל 2

בקופסה 40 כרטיסים, ועליהם המספרים 1 עד 40.
מוציאים כרטיס אחד בלי להסתכל.
חשבו את ההסתברות של כל מאורע דרך המאורע המשלים שלו.
כתבו כל הסתברות כשבר מצומצם.

א

המספר אינו מתחלק ב-10.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    המספר אינו מתחלק ב-5.

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      תרגיל 3

      חשבו את ההסתברות של המאורע המשלים.

      א

      ההסתברות שהאוטובוס יגיע בזמן היא 0.85\displaystyle 0.85.
      מה ההסתברות שהוא לא יגיע בזמן?

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        ב

        ההסתברות להוציא משקית כדור כחול היא 27\displaystyle \frac{2}{7}.
        מה ההסתברות להוציא כדור שאינו כחול?

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          תרגיל 4

          בשקית 20 כדורים: אדומים, כחולים וירוקים.
          מוציאים כדור אחד בלי להסתכל.
          ההסתברות להוציא כדור אדום היא 14\displaystyle \frac{1}{4}.
          ההסתברות להוציא כדור כחול היא 25\displaystyle \frac{2}{5}.

          א

          כמה כדורים אדומים יש בשקית? כמה כדורים כחולים?

          אדומים

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            כחולים

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              ב

              מה ההסתברות שהכדור אינו ירוק?

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ג

                מה ההסתברות שהכדור ירוק?

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  תרגיל 5

                  בקופסה 10 כרטיסים, ועליהם המספרים 1 עד 10.
                  מוציאים כרטיס אחד בלי להסתכל.
                  המאורע A\displaystyle A: המספר קטן מ-7.
                  המאורע B\displaystyle B: המספר קטן מ-5.
                  חשבו את P(A)\displaystyle P(A) ואת P(B)\displaystyle P(B). האם B\displaystyle B הוא המאורע המשלים של A\displaystyle A? הסבירו.

                  P(A)\displaystyle P(A)

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    P(B)\displaystyle P(B)

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה