דלג לתוכן

הסתברות של תוצאות שוות סיכוי

הסתברות, כיתה ט' שיעור 2 מתוך 11לימוד

הסתברות של תוצאות שוות סיכוי

הסתברות

ההסתברות של מאורע היא מספר שאומר עד כמה צפוי שהוא יקרה.

  • את ההסתברות של המאורע A\displaystyle A כותבים P(A)\displaystyle P(A) (מהמילה Probability – הסתברות באנגלית).
  • הסתברות גדולה – המאורע קורה לעיתים קרובות; הסתברות קטנה – לעיתים רחוקות.
תוצאות שוות סיכוי

כשלכל התוצאות של הניסוי יש אותו סיכוי לצאת, הן שוות סיכוי. כך בהטלת קובייה הוגנת או מטבע, ובהגרלה בלי להסתכל. אז ההסתברות של מאורע היא החלק של התוצאות שלו מכל התוצאות:

P(A)=kn\displaystyle P(A)=\frac{k}{n}
  • k\displaystyle k – מספר התוצאות במאורע A\displaystyle A;
  • n\displaystyle n – מספר התוצאות במרחב המדגם.
דוגמה: מספר גדול מ-4

בדוגמה שלפניכם נחשב את ההסתברות שבהטלת קובייה ייצא מספר גדול מ-4.

  • מרחב המדגם: {1,2,3,4,5,6}\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\} – שש תוצאות שוות סיכוי.
  • המאורע A\displaystyle A – “יצא מספר גדול מ-4”: {5,6}\displaystyle \{5,6\}, שתי תוצאות.
P(A)=26=13 P(A)=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}
ההסתברות: מספר בין 0 ל-1

ההסתברות של מאורע היא תמיד מספר בין 0 ל-1:

0≤P(A)≤1\displaystyle 0\le P(A)\le1
  • במאורע יש בין 0 ל-n\displaystyle n תוצאות, ולכן kn\displaystyle \frac{k}{n} הוא בין 0\displaystyle 0 ל-1\displaystyle 1.
  • מאורע בלתי אפשרי: אין בו תוצאות, וההסתברות שלו 0\displaystyle 0.
  • מאורע ודאי: יש בו כל התוצאות, וההסתברות שלו 1\displaystyle 1.
תוצאות עם סיכויים שונים

החישוב שלמעלה מתאים רק לתוצאות שוות סיכוי. ברולטה שבציור יש שלוש תוצאות – אדום, כחול וצהוב – אבל החלק האדום הוא חצי מהעיגול, ולכן החץ נעצר עליו יותר.

  • מחלקים את העיגול לארבעה חלקים שווים: שניים אדומים, אחד כחול ואחד צהוב.
  • ארבעת החלקים שווי סיכוי, והאדום הוא שניים מהם.
  • ההסתברות לאדום היא 24=12\displaystyle {\frac{2}{4}}={\frac{1}{2}}, ולא 13\displaystyle \frac{1}{3}.
דוגמה: כדורים בשקית

בדוגמה שלפניכם נחשב את ההסתברות להוציא כדור אדום משקית שיש בה כדורים בשני צבעים.

בשקית 3 כדורים אדומים ו-2 כדורים כחולים.
מוציאים כדור אחד בלי להסתכל.

  • לשני הצבעים אין אותו סיכוי: יש יותר כדורים אדומים.
  • התוצאות שוות הסיכוי הן הכדורים: חמש תוצאות.
  • המאורע A\displaystyle A – “הכדור אדום”: שלושה כדורים מתוך החמישה.
P(A)=35 P(A)=\frac{3}{5}
תרגיל 1

מטילים קובייה.
חשבו את ההסתברות של כל מאורע, וצמצמו את השבר אם אפשר.

א

יצא 5.

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב

    יצא מספר קטן מ-3.

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג

      יצא מספר ראשוני.

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תרגיל 2

        בשקית 4 כדורים אדומים, 5 כדורים כחולים ו-3 כדורים ירוקים.
        מוציאים כדור אחד בלי להסתכל.
        חשבו את ההסתברות של כל מאורע.
        כתבו כל הסתברות כשבר מצומצם.

        א

        הכדור אדום.

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          ב

          הכדור אדום או ירוק.

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            ג

            הכדור לבן.

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              תרגיל 3

              בכיתה 30 תלמידים, ו-18 מהם בנות.
              מגרילים תלמיד אחד שייצג את הכיתה במועצת התלמידים.
              כתבו כל הסתברות כשבר מצומצם.

              א

              מה ההסתברות שתוגרל בת?

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                ב

                מה ההסתברות שיוגרל בן?

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                  תרגיל 4

                  נועה מסובבת את הרולטה שחצייה אדום, רבע ממנה כחול ורבע צהוב.
                  נועה אומרת: “יש שלוש תוצאות, ולכן ההסתברות לכחול היא 13\displaystyle \frac{1}{3}”.
                  מה הטעות של נועה? מה ההסתברות לכחול?

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                    תרגיל 5

                    האם יש מאורע שההסתברות שלו 54\displaystyle \frac{5}{4}? הסבירו.