שכיחות יחסית והסתברות

כשחוזרים על ניסוי פעמים רבות, החלק של הפעמים שבהן מאורע קרה מתקרב להסתברות שלו.

• החלק הזה נקרא השכיחות היחסית של המאורע.
• בעזרתה אפשר להעריך הסתברות שאי אפשר לחשב – למשל כשלא יודעים מה יש בשקית.

• השכיחות של מאורע היא מספר הפעמים שהוא קרה.
• השכיחות היחסית של מאורע היא השכיחות שלו מתוך מספר הפעמים שעשו את הניסוי:

• $\displaystyle k$ – מספר הפעמים שהמאורע קרה.
• $\displaystyle n$ – מספר הפעמים שעשו את הניסוי.
• השכיחות היחסית היא מספר בין 0 ל-1, כמו הסתברות.
• אפשר לכתוב אותה כשבר, כמספר עשרוני או באחוזים.

בדוגמה שלפניכם נחשב שכיחות יחסית.
נועה הטילה מטבע 20 פעמים.
יצא עץ 12 פעמים.

• השכיחות של עץ היא 12.
• השכיחות היחסית של עץ: $\displaystyle {\frac{12}{20}}={\frac{3}{5}}={0.6}$.
• כלומר, ב-60% מההטלות יצא עץ.

בדוגמה שלפניכם הטילו קובייה 1,000 פעמים, ובכל הטלה בדקו אם יצא 6.

• הקו המקווקו בגרף הוא ההסתברות לקבל 6: $\displaystyle \frac{1}{6}\approx0.167$.
• הקו הרציף הוא השכיחות היחסית של 6 אחרי כל מספר של הטלות.

מה רואים בגרף:

• אחרי 10 הטלות יצא 6 בארבע מהן: השכיחות היחסית היא $\displaystyle {\frac{4}{10}}={0.4}$ – רחוקה מההסתברות.
• אחרי 100 הטלות יצא 6 ב-22 מהן: $\displaystyle {\frac{22}{100}}={0.22}$ – כבר קרובה יותר.
• אחרי 1,000 הטלות יצא 6 ב-160 מהן: $\displaystyle {\frac{160}{1000}}={0.16}$ – קרובה מאוד ל-$\displaystyle \frac{1}{6}$.

ככל שעושים יותר ניסויים, כל ניסוי אחד משנה את השכיחות היחסית פחות:

• אחרי 10 הטלות, 6 אחד נוסף משנה את השכיחות היחסית בעשירית, $\displaystyle \frac{1}{10}$.
• אחרי 1,000 הטלות, 6 אחד נוסף משנה אותה רק ב-$\displaystyle \frac{1}{1000}$.

לכן:

• במעט ניסויים, כמה תוצאות “מקריות” ברצף מרחיקות את השכיחות היחסית מההסתברות. מטבע שהוטל 4 פעמים יכול לתת 4 פעמים עץ – שכיחות יחסית 1.
• בהרבה ניסויים, רצפים כאלה כמעט לא משנים, והשכיחות היחסית נשארת קרובה להסתברות.
• השכיחות היחסית לא שווה בדיוק להסתברות, גם אחרי הרבה ניסויים – היא רק קרובה אליה.

כשהתוצאות לא שוות סיכוי ואין מה לספור, אי אפשר לחשב את ההסתברות. אז עושים את הניסוי פעמים רבות, והשכיחות היחסית היא הערכה של ההסתברות.

בדוגמה שלפניכם נעריך הסתברות של מאורע בהטלת נעץ.
נעץ שמטילים על השולחן נוחת כשהחוד שלו למעלה, או על הצד.
יואב הטיל נעץ 500 פעמים.
הנעץ נחת כשהחוד למעלה 310 פעמים.

• השכיחות היחסית: $\displaystyle {\frac{310}{500}}={0.62}$.
• לכן ההסתברות שהנעץ ינחת כשהחוד למעלה היא בערך 0.62.
• אם יואב יטיל את הנעץ עוד 1,000 פעמים, הוא יכול לצפות שהחוד יהיה למעלה בערך $\displaystyle {1000\cdot0.62}={620}$ פעמים.

בדוגמה שלפניכם נעריך כמה כדורים אדומים יש בשקית.
בשקית 20 כדורים, אדומים וכחולים, ואי אפשר לראות לתוכה.
מוציאים כדור, רושמים את הצבע שלו ומחזירים אותו לשקית – וכך 200 פעמים.
יצא כדור אדום 152 פעמים.

• השכיחות היחסית של אדום: $\displaystyle {\frac{152}{200}}={0.76}$.
• לכן ההסתברות להוציא כדור אדום היא בערך 0.76.
• ההסתברות להוציא אדום היא מספר הכדורים האדומים מתוך 20, כך שבערך 0.76 מהכדורים אדומים: $\displaystyle {0.76\cdot20}={15.2}$.
• ההערכה: בשקית 15 כדורים אדומים ו-5 כחולים, בערך.

חשבו את השכיחות היחסית.
כתבו אותה כשבר מצומצם וכמספר עשרוני.

שחקנית כדורסל זרקה 40 זריקות עונשין, וקלעה ב-28 מהן.
מה השכיחות היחסית של קליעה?

שירה הטילה קובייה 50 פעמים, ויצא 3 תשע פעמים.
מה השכיחות היחסית של 3?

במפעל בדקו 250 נורות, ו-10 מהן היו פגומות.
מה השכיחות היחסית של נורה פגומה?
כתבו אותה גם באחוזים.

מטילים מטבע.
המאורע: יוצא עץ.
ההסתברות של המאורע היא $\displaystyle \frac{1}{2}$, והיא מסומנת בגרף.
הטילו את המטבע 10 פעמים, אחר כך עוד 100 פעמים, ואחר כך עוד 1,000 פעמים.
אחרי כל שלב כתבו כמה הטלות היו עד עכשיו, מה השכיחות היחסית של עץ, וכמה היא רחוקה מ-$\displaystyle \frac{1}{2}$.
מה קורה למרחק הזה כשמספר ההטלות גדל?

מטילים קובייה.
המאורע: יוצא מספר זוגי.

חשבו את ההסתברות של המאורע.

הטילו את הקובייה 1,000 פעמים.
האם השכיחות היחסית של המאורע קרובה להסתברות שחישבתם בסעיף א?

בשקית 10 כדורים, אדומים וכחולים, ואי אפשר לראות לתוכה.
בכל ניסוי מוציאים כדור אחד, רושמים את הצבע שלו ומחזירים אותו לשקית.

הוציאו כדור 10 פעמים.
כמה כדורים אדומים יש בשקית, לדעתכם?

הוציאו כדור עוד 1,000 פעמים.
מה ההערכה שלכם עכשיו?

איזו משתי ההערכות טובה יותר? הסבירו למה.

רולטה מחולקת לשלושה חלקים: אדום, כחול וירוק. לא ידוע אם החלקים שווים בגודלם.
סובבו את הרולטה 200 פעמים, והתוצאות בטבלה:

חשבו את השכיחות היחסית של כל צבע.

איזה חלק של הרולטה הוא כנראה הגדול ביותר? הסבירו.

בערך כמה פעמים ייעצר החץ על ירוק, אם יסובבו את הרולטה 1,000 פעמים?

מה הטעות בכל טענה? הסבירו.

דנה הטילה קובייה 12 פעמים, ולא יצא אף 6.
היא אומרת: “בקובייה שלי 6 יוצא פחות מכל מספר אחר.”

יוסי הטיל מטבע 4 פעמים, ויצא עץ 3 פעמים.
הוא אומר: “ההסתברות לקבל עץ היא $\displaystyle \frac{3}{4}$.”