גדלים שווי יחס

יחס, פרופורציה ואחוזים, כיתה ח' שיעור 3 מתוך 12לימוד

גדלים שווי יחס

קילוגרם עגבניות עולה 6 ₪. כך המחיר משתנה עם המשקל:

משקל (ק"ג)	1	2	3	5
מחיר (₪)	6	12	18	30

כשהמשקל גדל פי 2, גם המחיר גדל פי 2; כשהמשקל גדל פי 5, גם המחיר גדל פי 5.
לכן היחס בין המחיר למשקל זהה בכל עמודה: $\displaystyle {\frac{6}{1}}={\frac{12}{2}}={\frac{18}{3}}={\frac{30}{5}}={6}$ .
שני גדלים שהיחס ביניהם קבוע נקראים גדלים שווי יחס.

מחיר עם תשלום קבוע

נסיעה במונית עולה 10 ₪ בכניסה, ועוד 5 ₪ על כל קילומטר:

דרך (ק"מ)	1	2	4
מחיר (₪)	15	20	30

הדרך גדלה פי 2, מ-1 ק"מ ל-2 ק"מ, אבל המחיר לא גדל פי 2: מ-15 ₪ ל-20 ₪.
$\displaystyle \frac{15}{1}$ ו- $\displaystyle \frac{20}{2}$ אינם שווים – ה-10 ₪ של הכניסה משולמים בכל נסיעה, קצרה וארוכה.
לכן המחיר והדרך כאן אינם שווי יחס.

תרגיל 1

באיזו טבלה הגדלים שווי יחס? הסבירו.

מספר כרטיסים	2	4	6
מחיר (₪)	50	100	150

גיל (שנים)	2	4	6
גובה (ס"מ)	85	100	115

מחיר ליחידה

ב-6 ₪ לקילוגרם של עגבניות, ה-6 הוא המחיר ליחידה: היחס הקבוע בין המחיר לכמות.
כך משווים מחירים של אריזות בגדלים שונים.
שישיית בקבוקי מים עולה 15 ₪, וארבעה בקבוקים בודדים עולים 11 ₪.

בשישייה בקבוק עולה $\displaystyle {15:6}={2.5}$ ₪.
בבקבוקים הבודדים בקבוק עולה $\displaystyle {11:4}={2.75}$ ₪.
בשישייה כל בקבוק זול יותר.

תרגיל 2

בסופרמרקט אחד 4 יוגורטים עולים 18 ₪.
בסופרמרקט אחר 6 יוגורטים כאלה עולים 24 ₪.
איפה יוגורט אחד זול יותר?

יוגורט בסופרמרקט הראשון

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

/ – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

יוגורט בסופרמרקט השני

פרופורציה בגדלים שווי יחס

בכל שבר אותו סדר: מחברות במונה, שקלים במכנה.

כשהגדלים שווי יחס, כל שתי עמודות בטבלה שלהם הן פרופורציה.
5 מחברות עולות 35 ₪.
כמה מחברות אפשר לקנות ב-56 ₪?

נסמן ב- $\displaystyle x$ את מספר המחברות שאפשר לקנות ב-56 ₪:

\frac{x}{56}=\frac{5}{35}

בכפל בהצלבה $\displaystyle {35x}={280}$ , ולכן $\displaystyle {x}={8}$ : אפשר לקנות 8 מחברות.

תרגיל 3

מכונית נוסעת 100 ק"מ על 7 ליטרים של דלק.
כמה ליטרים היא צריכה כדי לנסוע 250 ק"מ?

תרגיל 4

מדפסת מדפיסה 45 דפים ב-3 דקות.
כמה דקות תדפיס 120 דפים?

נוסחאות: יחס, פרופורציה ואחוזים, כיתה ח'

פתיחה בעמוד

יחס ופרופורציה

יחס הוא גם שבר
$\displaystyle a:b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{b}$
כפל בהצלבה בפרופורציה
$\displaystyle a\cdot d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\cdot c$ $\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$
כמויות ביחס $\displaystyle a:b$ – $\displaystyle k$ הגודל של חלק אחד
$\displaystyle ak:bk$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a:b$
גדלים שווי יחס – היחס $\displaystyle k$ קבוע (למשל המחיר ליחידה)
$\displaystyle \frac{y}{x}=k$

קנה מידה

בקנה מידה $\displaystyle 1:n$ – $\displaystyle a$ האורך בשרטוט, $\displaystyle b$ האורך במציאות, באותה יחידה
$\displaystyle b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\cdot n$
שטח בקנה מידה $\displaystyle 1:n$ – גדל פי $\displaystyle n^2$ , ולא פי $\displaystyle n$
$\displaystyle S_b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_a\cdot n^2$

אחוזים ושינוי באחוזים

$\displaystyle p$ אחוזים הם $\displaystyle p$ מאיות
$\displaystyle p\%$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{p}{100}$
עלייה של $\displaystyle p\%$ – $\displaystyle a$ הכמות שלפני השינוי, $\displaystyle b$ הכמות שאחריו
$\displaystyle b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (100\%+p\%)\cdot a$
ירידה של $\displaystyle p\%$ – $\displaystyle a$ הכמות שלפני השינוי, $\displaystyle b$ הכמות שאחריו
$\displaystyle b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (100\%-p\%)\cdot a$
השינוי באחוזים – חלק מהכמות שלפני השינוי
$\displaystyle p\%=\frac{b-a}{a}$
שני שינויים זה אחר זה – עלייה של $\displaystyle p\%$ ואחריה עלייה של $\displaystyle q\%$ (בירידה: מינוס במקום פלוס)
$\displaystyle c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (100\%+p\%)\cdot(100\%+q\%)\cdot a$