פרופורציה

יחס, פרופורציה ואחוזים, כיתה ח' שיעור 2 מתוך 12לימוד

פרופורציה

פרופורציה היא שוויון בין שני יחסים, כמו $\displaystyle {3:4}={6:8}$ .

יחס הוא גם שבר, ולכן את אותה פרופורציה אפשר לכתוב כך: $\displaystyle {\frac{3}{4}}={\frac{6}{8}}$ .
$\displaystyle 3:4$ ו- $\displaystyle 5:7$ אינם יחסים שווים, ולכן $\displaystyle {3:4}={5:7}$ אינה פרופורציה.

מכפלות בהצלבה

בפרופורציה, המונה של כל שבר כפול המכנה של השבר השני – שתי המכפלות שוות:

\displaystyle a\cdot d

\displaystyle =

\displaystyle b\cdot c

\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}

למה: נכפול את שני האגפים של $\displaystyle {\frac{a}{b}}={\frac{c}{d}}$ ב- $\displaystyle b\cdot d$ . משמאל $\displaystyle b$ מצטמצם, ומימין $\displaystyle d$ – ונשאר $\displaystyle {a\cdot d}={c\cdot b}$ .
בדוגמה: ב- $\displaystyle {\frac{3}{4}}={\frac{6}{8}}$ המכפלות הן $\displaystyle {3\cdot8}={24}$ ו- $\displaystyle {4\cdot6}={24}$ .
הכפל הולך באלכסון, בצורת X – ולכן קוראים לו כפל בהצלבה.

בדיקה אם היחסים שווים

גם בכיוון ההפוך: אם המכפלות בהצלבה שוות, היחסים שווים.

$\displaystyle 4:6$ ו- $\displaystyle 10:15$ : $\displaystyle {4\cdot15}={60}$ ו- $\displaystyle {6\cdot10}={60}$ – המכפלות שוות, ולכן $\displaystyle {4:6}={10:15}$ .
$\displaystyle 2:3$ ו- $\displaystyle 5:8$ : $\displaystyle {2\cdot8}={16}$ ו- $\displaystyle {3\cdot5}={15}$ – המכפלות שונות, ולכן היחסים אינם שווים.

תרגיל 1

בדקו בכפל בהצלבה: האם היחסים שווים?

$\displaystyle 3:5$ ו- $\displaystyle 9:15$
$\displaystyle 4:7$ ו- $\displaystyle 8:15$
$\displaystyle 1.5:2$ ו- $\displaystyle 6:8$

מספר חסר בפרופורציה

בדיקה:

\displaystyle {\frac{9}{12}}={\frac{3}{4}}

– צמצמנו ב-3.

כשאחד המספרים בפרופורציה חסר, כותבים במקומו $\displaystyle x$ ופותרים משוואה.
נמצא את $\displaystyle x$ ב- $\displaystyle {\frac{x}{12}}={\frac{3}{4}}$ :

בכפל בהצלבה: $\displaystyle {4\cdot x}={12\cdot3}$ , כלומר $\displaystyle {4x}={36}$ .
נחלק את שני האגפים ב-4: $\displaystyle {x}={9}$ .

תרגיל 2

פתרו.

דוגמה: מתכון

במתכון לפנקייקים יש 4 ביצים ל-6 מנות.
כמה ביצים צריך ל-15 מנות?

היחס בין הביצים למנות נשאר אותו יחס. נסמן ב- $\displaystyle x$ את מספר הביצים ל-15 מנות, ונכתוב פרופורציה – ביצים במונה, מנות במכנה, בשני השברים:

\frac{x}{15}=\frac{4}{6}

בכפל בהצלבה $\displaystyle {6x}={60}$ , ולכן $\displaystyle {x}={10}$ : צריך 10 ביצים.

תרגיל 3

ב-3 ק"ג תפוחים יש 18 תפוחים.
כמה תפוחים יש בערך ב-5 ק"ג של אותם תפוחים?
כתבו פרופורציה ופתרו אותה.

תרגיל 4

בחוג טיפוס היחס בין המדריכים למשתתפים הוא $\displaystyle 2:15$ .
בחוג 45 משתתפים.
כמה מדריכים בחוג?
כתבו פרופורציה ופתרו אותה.

נוסחאות: יחס, פרופורציה ואחוזים, כיתה ח'

פתיחה בעמוד

יחס ופרופורציה

יחס הוא גם שבר
$\displaystyle a:b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{b}$
כפל בהצלבה בפרופורציה
$\displaystyle a\cdot d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\cdot c$ $\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$
כמויות ביחס $\displaystyle a:b$ – $\displaystyle k$ הגודל של חלק אחד
$\displaystyle ak:bk$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a:b$
גדלים שווי יחס – היחס $\displaystyle k$ קבוע (למשל המחיר ליחידה)
$\displaystyle \frac{y}{x}=k$

קנה מידה

בקנה מידה $\displaystyle 1:n$ – $\displaystyle a$ האורך בשרטוט, $\displaystyle b$ האורך במציאות, באותה יחידה
$\displaystyle b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\cdot n$
שטח בקנה מידה $\displaystyle 1:n$ – גדל פי $\displaystyle n^2$ , ולא פי $\displaystyle n$
$\displaystyle S_b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_a\cdot n^2$

אחוזים ושינוי באחוזים

$\displaystyle p$ אחוזים הם $\displaystyle p$ מאיות
$\displaystyle p\%$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{p}{100}$
עלייה של $\displaystyle p\%$ – $\displaystyle a$ הכמות שלפני השינוי, $\displaystyle b$ הכמות שאחריו
$\displaystyle b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (100\%+p\%)\cdot a$
ירידה של $\displaystyle p\%$ – $\displaystyle a$ הכמות שלפני השינוי, $\displaystyle b$ הכמות שאחריו
$\displaystyle b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (100\%-p\%)\cdot a$
השינוי באחוזים – חלק מהכמות שלפני השינוי
$\displaystyle p\%=\frac{b-a}{a}$
שני שינויים זה אחר זה – עלייה של $\displaystyle p\%$ ואחריה עלייה של $\displaystyle q\%$ (בירידה: מינוס במקום פלוס)
$\displaystyle c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (100\%+p\%)\cdot(100\%+q\%)\cdot a$