דלג לתוכן

החרוט

מעגל וגופים, כיתה ח' שיעור 4 מתוך 7לימוד

החרוט

החרוט

hrl חרוט הוא גוף כמו גביע של גלידה, כובע של מסיבה או קונוס תנועה.

  • יש לו בסיס אחד – עיגול. r\displaystyle r הוא הרדיוס שלו.
  • הקודקוד הוא הנקודה שבראש החרוט.
  • h\displaystyle h – הגובה: הקטע מהקודקוד אל מרכז הבסיס. הוא מאונך לבסיס.
  • l\displaystyle l – קו יוצר: קטע מהקודקוד אל נקודה על המעגל שמקיף את הבסיס. כל הקווים היוצרים של חרוט שווים.
הגובה, הרדיוס והקו היוצר

הגובה, הרדיוס והקו היוצר הם הצלעות של משולש ישר זווית: הזווית הישרה היא במרכז הבסיס, כי הגובה מאונך לבסיס.
הקו היוצר מול הזווית הישרה, ולכן הוא היתר. לפי משפט פיתגורס:

l2\displaystyle l^2 =\displaystyle = r2+h2\displaystyle r^2+h^2

לדוגמה, r=6\displaystyle {r}={6} ס"מ ו-h=8\displaystyle {h}={8} ס"מ:

  • l2=62+82=36+64=100\displaystyle {l^2}={6^2+8^2}={36+64}={100}.
  • l=100=10\displaystyle {l}={\sqrt{100}}={10} ס"מ.
תרגיל 1

חשבו, בס"מ.

א
הקו היוצר של חרוט שהרדיוס שלו 5 ס"מ והגובה שלו 12 ס"מ

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב
    הגובה של חרוט שהקו היוצר שלו 17 ס"מ והרדיוס שלו 8 ס"מ

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      נפח החרוט

      נפח החרוט הוא שליש מנפח הגליל שיש לו אותו בסיס ואותו גובה.

      • אפשר לבדוק זאת בניסוי: ממלאים חרוט במים ושופכים אותו לגליל. אחרי שלוש פעמים הגליל מלא בדיוק.
      • נפח הגליל הוא πr2h\displaystyle \pi r^2h, ולכן:
      V\displaystyle V =\displaystyle = πr2h3\displaystyle \frac{\pi r^2 h}{3}
      חישוב הנפח

      הרדיוס של חרוט הוא 3 ס"מ, והגובה שלו 10 ס"מ.
      מה הנפח שלו? (π≈3.14\displaystyle \pi\approx3.14)

      • שטח הבסיס: 3.14×32=28.26\displaystyle {3.14\times3^2}={28.26} סמ"ר.
      • הנפח: 28.26×10:3=94.2\displaystyle {28.26\times10:3}={94.2} סמ"ק.
      תרגיל 2

      הרדיוס של גביע גלידה הוא 3 ס"מ, והגובה שלו 12 ס"מ.
      כמה סמ"ק גלידה נכנסים בתוכו – בלי הכדור שמעליו? (π≈3.14\displaystyle \pi\approx3.14)

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תרגיל 3

        הרדיוס של חרוט הוא 6 ס"מ, והקו היוצר שלו 10 ס"מ.
        מה הנפח שלו? (π≈3.14\displaystyle \pi\approx3.14)

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          פריסת החרוט

          נחתוך את המעטפת של החרוט לאורך קו יוצר, ונפרוש אותה. יחד עם הבסיס זו הפריסה של החרוט: lr

          • המעטפת היא גזרה של עיגול שהרדיוס שלו l\displaystyle l: כל נקודה על השפה שלה רחוקה מהקודקוד כאורך הקו היוצר.
          • הקשת של הגזרה הקיפה את הבסיס פעם אחת, ולכן האורך שלה הוא היקף הבסיס, 2πr\displaystyle 2\pi r.
          שטח המעטפת
          • M\displaystyle M – שטח המעטפת
          • S\displaystyle S – שטח הפנים

          הגזרה היא חלק מעיגול שלם שהרדיוס שלו l\displaystyle l:

          • ההיקף של העיגול השלם הוא 2πl\displaystyle 2\pi l, והקשת של הגזרה היא 2πr\displaystyle 2\pi r. לכן הגזרה היא החלק 2πr2πl=rl\displaystyle {\frac{2\pi r}{2\pi l}}={\frac{r}{l}} של העיגול.
          • השטח של העיגול השלם הוא πl2\displaystyle \pi l^2, ולכן השטח של הגזרה הוא rl⋅πl2=πrl\displaystyle {\frac{r}{l}\cdot\pi l^2}={\pi r l}.
          M\displaystyle M =\displaystyle = πrl\displaystyle \pi r l

          שטח הפנים של החרוט הוא הבסיס והמעטפת יחד:

          S\displaystyle S =\displaystyle = πr2+πrl\displaystyle \pi r^2+\pi r l
          חישוב שטח הפנים

          הרדיוס של חרוט הוא 6 ס"מ, והקו היוצר שלו 10 ס"מ.
          מה שטח הפנים שלו? (π≈3.14\displaystyle \pi\approx3.14)

          • המעטפת: 3.14×6×10=188.4\displaystyle {3.14\times6\times10}={188.4} סמ"ר.
          • הבסיס: 3.14×62=113.04\displaystyle {3.14\times6^2}={113.04} סמ"ר.
          • שטח הפנים: 188.4+113.04=301.44\displaystyle {188.4+113.04}={301.44} סמ"ר.
          תרגיל 4

          כובע מסיבה הוא חרוט בלי בסיס.
          הרדיוס שלו 10 ס"מ, והגובה שלו 24 ס"מ.
          כמה סמ"ר נייר צריך כדי להכין אותו? (π≈3.14\displaystyle \pi\approx3.14)

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            תרגיל 5

            הרדיוס של חרוט הוא 3 ס"מ, והקו היוצר שלו 5 ס"מ.
            מה שטח הפנים שלו, בסמ"ר? (π≈3.14\displaystyle \pi\approx3.14)

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה