דלג לתוכן

שטח העיגול

מעגל וגופים, כיתה ח' שיעור 2 מתוך 7לימוד

שטח העיגול

מעגל ועיגול

עיגול הוא המעגל יחד עם כל מה שבתוכו.

  • המעגל הוא קו, ולכן יש לו אורך – ההיקף.
  • העיגול הוא משטח, ולכן יש לו שטח – שטח העיגול.
  • המרכז, הרדיוס והקוטר של העיגול הם אלה של המעגל שמקיף אותו.
מעיגול למלבן

נחתוך עיגול ל-16 גזרות שוות, כמו פרוסות של פיצה, ונסדר אותן בשורה – אחת עם החוד למעלה, ואחת עם החוד למטה: rπr הצורה שהתקבלה היא כמעט מלבן:

  • הגובה שלה הוא רדיוס, r\displaystyle r.
  • האורך שלה הוא חצי מההיקף: הקשתות של הגזרות בצבע אחד נמצאות למטה, ושל הגזרות בצבע השני – למעלה.
  • חצי מההיקף 2πr\displaystyle 2\pi r הוא πr\displaystyle \pi r.
  • ככל שנחתוך לגזרות רבות ודקות יותר, הצורה תהיה קרובה יותר למלבן.

השטח של מלבן הוא אורך כפול רוחב, ולכן שטח העיגול הוא πr⋅r=πr2\displaystyle {\pi r\cdot r}={\pi r^2}.

נוסחת השטח
  • S\displaystyle S – שטח העיגול
  • r\displaystyle r – הרדיוס
S\displaystyle S =\displaystyle = πr2\displaystyle \pi r^2
  • r2\displaystyle r^2 הוא r⋅r\displaystyle r\cdot r – הרדיוס כפול עצמו, ולא 2r\displaystyle 2r.
  • אם נתון הקוטר, מחלקים אותו קודם ב-2.
  • שטח מודדים ביחידות ריבועיות: סמ"ר, מ"ר.
חישוב השטח

הקוטר של פיצה הוא 30 ס"מ.
מה השטח שלה?

  • הרדיוס הוא 30:2=15\displaystyle {30:2}={15} ס"מ.
  • S=3.14×152=3.14×225=706.5\displaystyle {S}={3.14\times15^2}={3.14\times225}={706.5} סמ"ר.
תרגיל 1

חשבו את שטח העיגול, בסמ"ר (π≈3.14\displaystyle \pi\approx3.14).

א
הרדיוס 10 ס"מ

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

    ב
    הרדיוס 6 ס"מ

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

      ג
      הקוטר 8 ס"מ

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

        תשובה עם π

        אפשר גם להשאיר את π\displaystyle \pi בתשובה, כמו אות, בלי להחליף אותו ב-3.14.

        • לעיגול שהרדיוס שלו 3 ס"מ יש שטח של π⋅32=9π\displaystyle {\pi\cdot3^2}={9\pi} סמ"ר, והיקף של 2⋅π⋅3=6π\displaystyle {2\cdot\pi\cdot3}={6\pi} ס"מ.
        • 9π\displaystyle 9\pi היא התשובה המדויקת. 9×3.14=28.26\displaystyle {9\times3.14}={28.26} היא קירוב שלה.
        חצי עיגול

        השטח של חצי עיגול הוא חצי משטח העיגול.
        לדוגמה, חלון בצורת חצי עיגול שהקוטר שלו 80 ס"מ:

        • הרדיוס הוא 40 ס"מ.
        • שטח העיגול השלם: 3.14×402=3.14×1600=5024\displaystyle {3.14\times40^2}={3.14\times1600}={5024} סמ"ר.
        • שטח החלון: 5024:2=2512\displaystyle {5024:2}={2512} סמ"ר.
        טבעת

        טבעת היא הצורה שבין שני מעגלים עם אותו מרכז. Rr השטח שלה הוא השטח של העיגול הגדול פחות השטח של העיגול הקטן.
        לדוגמה, R=5\displaystyle {R}={5} ס"מ ו-r=3\displaystyle {r}={3} ס"מ:

        • העיגול הגדול: 3.14×52=78.5\displaystyle {3.14\times5^2}={78.5} סמ"ר.
        • העיגול הקטן: 3.14×32=28.26\displaystyle {3.14\times3^2}={28.26} סמ"ר.
        • הטבעת: 78.5−28.26=50.24\displaystyle {78.5-28.26}={50.24} סמ"ר.
        תרגיל 2

        הרדיוס החיצוני של דיסק הוא 10 ס"מ.
        באמצע הדיסק יש חור עגול שהרדיוס שלו 6 ס"מ.
        מה השטח של הדיסק? (π≈3.14\displaystyle \pi\approx3.14)

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

          תרגיל 3

          בריבוע שאורך הצלע שלו 10 ס"מ גזרו את העיגול הגדול ביותר שנכנס בו.
          כמה סמ"ר נשארו מהריבוע? (π≈3.14\displaystyle \pi\approx3.14)

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

            תרגיל 4

            בפיצרייה אפשר לקנות פיצה אחת שהקוטר שלה 40 ס"מ, או שתי פיצות שהקוטר של כל אחת מהן 20 ס"מ.
            במה יש יותר פיצה? פי כמה?

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

              תרגיל 5

              השטח של עיגול הוא 49π\displaystyle 49\pi סמ"ר.
              מה הרדיוס שלו?
              מה ההיקף שלו? כתבו את התשובה עם π\displaystyle \pi.

              r\displaystyle r

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – בדיקה ושורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                / – קו שבר · Tab או החצים – בין המונה למכנה, ואחר כך פתק מעל או מתחת · Enter – שורה חדשה · * – כפל · ^ – חזקה, ↓ – סוף החזקה

                P\displaystyle P