משפט פיתגורס במרחב

תיבה היא גוף כמו קופסת נעליים או חדר.

• יש לה 6 פאות – מלבנים. כל שתי פאות שמול זו את זו שוות.
• יש לה 12 מקצועות – הקטעים שבהם נפגשות שתי פאות – ו-8 קודקודים.
• שלושת המימדים שלה הם האורך $\displaystyle a$, הרוחב $\displaystyle b$ והגובה $\displaystyle c$.

אלכסון התיבה ($\displaystyle d$) מחבר קודקוד אל הקודקוד הרחוק ממנו ביותר, דרך הפנים של התיבה.
נחשב אותו בעזרת משפט פיתגורס, פעמיים:

• אלכסון הבסיס ($\displaystyle e$): הבסיס הוא מלבן, ואלכסון שלו הוא היתר במשולש ישר זווית שהניצבים שלו $\displaystyle a$ ו-$\displaystyle b$. לכן $\displaystyle {e^2}={a^2+b^2}$.
• אלכסון התיבה ($\displaystyle d$): המקצוע $\displaystyle c$ מאונך לבסיס, ולכן גם ל-$\displaystyle e$. אלכסון התיבה הוא היתר במשולש ישר זווית שהניצבים שלו $\displaystyle e$ ו-$\displaystyle c$. לכן $\displaystyle {d^2}={e^2+c^2}$.

נציב את $\displaystyle e^2$ ונקבל:

המימדים של תיבה הם 3 ס"מ, 4 ס"מ ו-12 ס"מ.
מה אורך האלכסון שלה?

• אלכסון הבסיס: $\displaystyle {e^2}={3^2+4^2}={9+16}={25}$, ולכן $\displaystyle {e}={5}$ ס"מ.
• אלכסון התיבה: $\displaystyle {d^2}={5^2+12^2}={25+144}={169}$, ולכן $\displaystyle {d}={13}$ ס"מ.

חשבו את אורך האלכסון של התיבה, בס"מ.

המימדים של ארגז הם 30 ס"מ, 40 ס"מ ו-120 ס"מ.
האם אפשר להכניס לתוכו מקל שאורכו 125 ס"מ, כך שהמכסה ייסגר?

גם בחרוט השתמשנו במשפט פיתגורס במרחב: הגובה $\displaystyle h$, הרדיוס $\displaystyle r$ והקו היוצר $\displaystyle l$ הם הצלעות של משולש ישר זווית, ו-$\displaystyle {l^2}={r^2+h^2}$.

אוהל הוא חרוט.
הרדיוס של הרצפה שלו 1.5 מ’.
האורך של הבד מראש האוהל עד הקרקע – הקו היוצר – הוא 2.5 מ’.
האם אדם שגובהו 1.90 מ’ יכול לעמוד זקוף באמצע האוהל?

פירמידה ריבועית היא גוף שהבסיס שלו ריבוע, וארבע הפאות הצדדיות שלו הן משולשים שנפגשים בקודקוד אחד.

• הקודקוד נמצא בדיוק מעל מרכז הריבוע, $\displaystyle O$.
• $\displaystyle h$ – הגובה של הפירמידה: הקטע מהקודקוד אל $\displaystyle O$.
• $\displaystyle k$ – הגובה של פאה צדדית: הקטע מהקודקוד אל $\displaystyle M$, אמצע צלע של הבסיס.
• הקטע $\displaystyle OM$ הוא חצי מצלע הבסיס, $\displaystyle \frac{a}{2}$.

הגובה $\displaystyle h$ מאונך לבסיס, ולכן הקטעים $\displaystyle h$, $\displaystyle OM$ ו-$\displaystyle k$ הם הצלעות של משולש ישר זווית, ו-$\displaystyle k$ הוא היתר:

צלע הבסיס של פירמידה ריבועית היא 12 מ’, והגובה שלה 8 מ’.
מה הגובה של פאה צדדית?

• $\displaystyle {OM}={12:2}={6}$ מ'.
• $\displaystyle {k^2}={8^2+6^2}={64+36}={100}$, ולכן $\displaystyle {k}={10}$ מ'.

צלע הבסיס של פירמידה ריבועית היא 10 ס"מ, והגובה של פאה צדדית הוא 13 ס"מ.
מה הגובה של הפירמידה, בס"מ?

אולם ספורט הוא תיבה.
הרצפה שלו היא מלבן של 12 מ’ על 9 מ’.
הגובה שלו 8 מ’.
רחפן טס בקו ישר מפינה של הרצפה אל הפינה של התקרה הרחוקה ממנה ביותר.
כמה מטרים הוא טס?