שאלות תרגול

בחירת פריטים

סמנו נושאים, או קבוצה שלמה. המספר ליד כל שם הוא מספר הפריטים שיש בו.
לקבוצה מסומנת יש מספר אחד: כמה פריטים לקחת מכל הנושאים שבה יחד.
נלקחים רק פריטים ברמות המסומנות.
הוספה לדף מוסיפה את הפריטים מתחת למה שכבר בדף, בלי שאף פריט יופיע פעמיים.
הוספה לפי מספר מוסיפה לדף את הפריטים שאת מספריהם כתבתם (X-00751, X-00760), בסדר שכתבתם.
שיתוף נותן קישור לפריטים שבדף: מי שפותח אותו מקבל את אותם פריטים, באותו סדר; העתקת המספרים מעתיקה במקומו את מספרי הפריטים. ליד מספר הפריט: העתקת המספר (לרשימה שלכם), או קישור לפריט הזה בלבד.
בדיקה: בכל פריט תוך כדי עבודה; הכול בבת אחת, בבדיקת הכול שמתחת לדף; או בלי בדיקה – שמירת קובץ למורה שומרת את העבודה כקובץ לשליחה.

שאלות תרגול

נוסחאות: אחוזים, יחס וקנה מידה, כיתה ו'

פתיחה בעמוד

אחוז הוא מאית

$\displaystyle a$ אחוזים הם $\displaystyle a$ מאיות
$\displaystyle a\%$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{100}$
השלם כולו
$\displaystyle 100\%$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
חצי
$\displaystyle 50\%$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}$
רבע
$\displaystyle 25\%$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{4}$
שלושה רבעים
$\displaystyle 75\%$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{3}{4}$
עשירית
$\displaystyle 10\%$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{10}$
חמישית
$\displaystyle 20\%$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{5}$
שמינית
$\displaystyle 12\frac{1}{2}\%$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{8}$

ערך האחוז

$\displaystyle a\%$ מהכמות היסודית $\displaystyle b$
$\displaystyle a\%\times b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{100}\times b$
האחוז והכמות מתחלפים: 18% מ-50 הם 50% מ-18
$\displaystyle a\%\times b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\%\times a$

חישוב האחוז

כמה אחוזים הם $\displaystyle a$ מתוך $\displaystyle b$ – מצמצמים או מרחיבים למכנה 100, והמונה $\displaystyle p$ הוא מספר האחוזים
$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{p}{100}=p\%$

יחס

יחס הוא מנה – אפשר לכתוב אותו כשבר
$\displaystyle a:b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{b}$
יחסים שווים – מרחיבים או מצמצמים את שני המספרים באותו מספר $\displaystyle k$
$\displaystyle a:b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a\times k):(b\times k)$ $\displaystyle k\neq0$
חלוקה של כמות $\displaystyle c$ ביחס $\displaystyle a:b$ – החלק הראשון ( $\displaystyle a$ חלקים מתוך $\displaystyle a+b$ )
$\displaystyle \frac{c}{a+b}\times a$
חלוקה של כמות $\displaystyle c$ ביחס $\displaystyle a:b$ – החלק השני ( $\displaystyle b$ חלקים מתוך $\displaystyle a+b$ )
$\displaystyle \frac{c}{a+b}\times b$

קנה מידה

בקנה מידה $\displaystyle 1:n$ – $\displaystyle a$ האורך בשרטוט, $\displaystyle b$ האורך במציאות, באותה יחידה
$\displaystyle b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\times n$

נוסחאות: מידות וגופים, כיתה ו'

פתיחה בעמוד

המעגל והעיגול

הקוטר $\displaystyle d$ הוא שני רדיוסים $\displaystyle r$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\times r$
המספר פאי – הערך שבו מחשבים
$\displaystyle \pi\approx3.14$
היקף המעגל – $\displaystyle d$ הקוטר
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi d$
היקף המעגל – $\displaystyle r$ הרדיוס
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\pi r$
שטח העיגול – $\displaystyle r$ הרדיוס
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi r^2$

נפחים

נפח תיבה – $\displaystyle a$ האורך, $\displaystyle b$ הרוחב, $\displaystyle c$ הגובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\times b\times c$
נפח תיבה, מנסרה או גליל – $\displaystyle S$ שטח הבסיס, $\displaystyle h$ הגובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S\times h$
נפח גליל – $\displaystyle r$ רדיוס הבסיס, $\displaystyle h$ הגובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi r^2 h$
נפח פירמידה – שליש מנפח המנסרה שיש לה אותו בסיס ואותו גובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{S\times h}{3}$
נפח חרוט – שליש מנפח הגליל שיש לו אותו בסיס ואותו גובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\pi r^2 h}{3}$
נפח כדור – שני שלישים מנפח הגליל שעוטף אותו
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{2}{3}\times\pi r^2\times2r$

נוסחאות: אלגברה, כיתה ז'

פתיחה בעמוד

חיבור וחיסור של מספרים מכוונים

הסכום של שני מספרים נגדיים
$\displaystyle (-a)+a$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0$
לחסר מספר זה לחבר את הנגדי שלו
$\displaystyle a-b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a+(-b)$
חיסור של מספר שלילי
$\displaystyle a-(-b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a+b$

כפל וחילוק של מספרים מכוונים

חיובי כפול שלילי – שלילי
$\displaystyle a\cdot(-b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -(a\cdot b)$
שלילי כפול שלילי – חיובי
$\displaystyle (-a)\cdot(-b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\cdot b$
בחילוק: סימנים שונים – המנה שלילית
$\displaystyle (-a):b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -(a:b)$ $\displaystyle b\neq0$
בחילוק: אותו סימן – המנה חיובית
$\displaystyle (-a):(-b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a:b$ $\displaystyle b\neq0$

חזקות ושורשים

חזקה – $\displaystyle a$ הבסיס, $\displaystyle n$ המעריך: מספר הפעמים ש- $\displaystyle a$ מופיע בכפל
$\displaystyle a^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \underbrace{a\cdot a\cdot\ldots\cdot a}_{n}$
מספר בחזקת 1 הוא המספר עצמו
$\displaystyle a^{1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a$
בסיס שלילי במעריך זוגי – החזקה חיובית
$\displaystyle (-a)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}$
השורש הריבועי – המספר החיובי (או 0) שהריבוע שלו הוא המספר שבתוך השורש
$\displaystyle \sqrt{a^{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a$ $\displaystyle a\ge0$

חוקי החשבון וכינוס איברים דומים

חוק החילוף בחיבור
$\displaystyle a+b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b+a$
חוק החילוף בכפל
$\displaystyle a\cdot b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\cdot a$
חוק הקיבוץ בחיבור
$\displaystyle (a+b)+c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a+(b+c)$
חוק הקיבוץ בכפל
$\displaystyle (a\cdot b)\cdot c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\cdot(b\cdot c)$
מספר כפול עצמו – בריבוע
$\displaystyle x\cdot x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x^{2}$
כינוס איברים דומים – מחברים את המקדמים, וחלק האותיות נשאר
$\displaystyle ax+bx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a+b)x$

חוק הפילוג

חוק הפילוג
$\displaystyle a(b+c)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle ab+ac$
חוק הפילוג בהפרש
$\displaystyle a(b-c)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle ab-ac$
מינוס לפני סוגריים – הסימן של כל איבר בתוכם מתהפך
$\displaystyle -(a-b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -a+b$

דרך, מהירות וזמן

$\displaystyle s$ הדרך, $\displaystyle v$ המהירות, $\displaystyle t$ הזמן
$\displaystyle s$ $\displaystyle =$ $\displaystyle v\cdot t$

נוסחאות: גאומטריה, כיתה ז'

פתיחה בעמוד

זוויות

סכום זוויות – הקרן $\displaystyle BD$ עוברת בתוך $\displaystyle \angle ABC$
$\displaystyle \angle ABC$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \angle ABD+\angle DBC$
הפרש זוויות
$\displaystyle \angle DBC$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \angle ABC-\angle ABD$
חוצה הזווית $\displaystyle BD$ מחלק את $\displaystyle \angle ABC$ לשתי זוויות שוות
$\displaystyle \angle ABD=\angle DBC=\frac{\angle ABC}{2}$
זוויות צמודות
$\displaystyle \alpha+\beta=180^{\circ}$
זוויות קודקודיות שוות
$\displaystyle \alpha=\gamma$
סכום הזוויות סביב נקודה
$\displaystyle \alpha+\beta+\gamma+\delta=360^{\circ}$

זוויות במשולש ובמרובע

סכום הזוויות במשולש
$\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}$
שתי הזוויות החדות במשולש ישר־זווית
$\displaystyle \alpha+\beta=90^{\circ}$
במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
$\displaystyle \angle B=\angle C$ $\displaystyle AB=AC$
במשולש שווה צלעות כל הזוויות שוות
$\displaystyle \alpha=\beta=\gamma=60^{\circ}$
סכום הזוויות במרובע
$\displaystyle \angle A+\angle B+\angle C+\angle D=360^{\circ}$

היקף ושטח של מלבן וריבוע

שטח מלבן – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ שתי צלעות שנפגשות בקודקוד
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\cdot b$
היקף מלבן
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\cdot(a+b)$
שטח ריבוע – $\displaystyle a$ אורך הצלע
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2$
היקף ריבוע
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\cdot a$

שטחים של מצולעים

שטח מקבילית – $\displaystyle h_a$ הגובה לצלע $\displaystyle a$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\cdot h_a$
שטח משולש – $\displaystyle h_a$ הגובה לצלע $\displaystyle a$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a\cdot h_a}{2}$
שטח משולש ישר־זווית – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הניצבים
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a\cdot b}{2}$ $\displaystyle \angle C=90^{\circ}$
שטח טרפז – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הבסיסים, $\displaystyle h$ הגובה
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{(a+b)\cdot h}{2}$

התיבה והקובייה

שטח הפנים של תיבה – $\displaystyle a$ האורך, $\displaystyle b$ הרוחב, $\displaystyle c$ הגובה
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2(ab+bc+ac)$
שטח הפנים של קובייה – $\displaystyle a$ אורך המקצוע
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 6a^2$
נפח תיבה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\cdot b\cdot c$
נפח קובייה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^3$

נוסחאות: נתונים והסתברות, כיתה ז'

פתיחה בעמוד

שכיחות יחסית

השכיחות היחסית של ערך – $\displaystyle f$ השכיחות שלו, $\displaystyle n$ מספר כל הנתונים
$\displaystyle \frac{f}{n}$
סכום השכיחויות היחסיות של כל הערכים
$\displaystyle \frac{f_1}{n}+\frac{f_2}{n}+\dots+\frac{f_k}{n}=1$

הסתברות

הערכת ההסתברות של מאורע $\displaystyle A$ – $\displaystyle f$ מספר הפעמים שהמאורע קרה, $\displaystyle n$ מספר הפעמים שעשו את הניסוי
$\displaystyle P(A)\approx\frac{f}{n}$
ההסתברות היא מספר מ-0 עד 1 – מאורע בלתי אפשרי 0, מאורע ודאי 1
$\displaystyle 0\le P(A)\le1$
מספר הפעמים הצפוי שהמאורע יקרה ב- $\displaystyle n$ ניסויים
$\displaystyle P(A)\cdot n$

נוסחאות: אלגברה, כיתה ח'

פתיחה בעמוד

הפונקציה הקווית

פונקציה קווית – $\displaystyle m$ השיפוע; הישר חותך את ציר ה- $\displaystyle y$ בנקודה $\displaystyle (0,b)$
$\displaystyle y=mx+b$
השיפוע של הישר דרך $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
לישרים מקבילים אותו שיפוע
$\displaystyle m_1=m_2$
ישר שעובר בראשית הצירים – $\displaystyle {b}={0}$
$\displaystyle y=mx$
ישר אופקי – השיפוע 0
$\displaystyle y=b$

בעיות מילוליות

$\displaystyle p$ אחוזים מ- $\displaystyle x$
$\displaystyle \frac{p}{100}\cdot x$
$\displaystyle s$ הדרך, $\displaystyle v$ המהירות, $\displaystyle t$ הזמן
$\displaystyle s$ $\displaystyle =$ $\displaystyle v\cdot t$

אי־שוויונות

מוסיפים או מחסירים אותו מספר בשני האגפים – הסימן נשאר
$\displaystyle a+c<b+c$ $\displaystyle a<b$
כופלים או מחלקים במספר חיובי – הסימן נשאר
$\displaystyle a\cdot c<b\cdot c$ $\displaystyle a<b,\ c>0$
כופלים או מחלקים במספר שלילי – הסימן מתהפך
$\displaystyle a\cdot c>b\cdot c$ $\displaystyle a<b,\ c<0$

נוסחאות: גאומטריה, כיתה ח'

פתיחה בעמוד

זוויות בין ישרים מקבילים

זוויות צמודות
$\displaystyle \alpha+\beta=180^{\circ}$
זוויות קודקודיות שוות
$\displaystyle \alpha=\gamma$
בין ישרים מקבילים: זוויות מתאימות שוות, וגם זוויות מתחלפות
$\displaystyle \alpha=\beta$
בין ישרים מקבילים: זוויות חד־צדדיות
$\displaystyle \gamma+\delta=180^{\circ}$

זוויות במשולש

סכום הזוויות במשולש
$\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}$
זווית חיצונית $\displaystyle \delta$ שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה
$\displaystyle \delta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha+\beta$
במשולש שווה שוקיים זוויות הבסיס שוות
$\displaystyle \angle B=\angle C$ $\displaystyle AB=AC$
במשולש שווה צלעות כל הזוויות שוות
$\displaystyle \alpha=\beta=\gamma=60^{\circ}$

משפט פיתגורס

במשולש ישר־זווית – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הניצבים, $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle a^2+b^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c^2$
חישוב ניצב – מהיתר ומהניצב השני
$\displaystyle a^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c^2-b^2$

צלעות במשולש

אי־שוויון המשולש – סכום שתי צלעות גדול מהצלע השלישית
$\displaystyle a+b>c$
הצלע השלישית – בין ההפרש של שתי הצלעות האחרות לסכום שלהן
$\displaystyle a-b<c<a+b$ $\displaystyle a\ge b$

משולשים דומים

במשולשים דומים $\displaystyle \triangle ABC\sim\triangle DEF$ הצלעות המתאימות באותו יחס – $\displaystyle k$ יחס הדמיון
$\displaystyle \frac{DE}{AB}=\frac{EF}{BC}=\frac{FD}{CA}=k$
יחס ההיקפים – גם ההיקף גדל פי $\displaystyle k$
$\displaystyle P_{DEF}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k\cdot P_{ABC}$
כפל בהצלבה בפרופורציה
$\displaystyle a\cdot d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\cdot c$ $\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

נוסחאות: מעגל וגופים, כיתה ח'

פתיחה בעמוד

המעגל והעיגול

המספר פאי – הערך שבו מחשבים
$\displaystyle \pi\approx3.14$
היקף המעגל – $\displaystyle d$ הקוטר
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi d$
היקף המעגל – $\displaystyle r$ הרדיוס
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\pi r$
שטח העיגול
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi r^2$

הגליל

שטח המעטפת – $\displaystyle r$ רדיוס הבסיס, $\displaystyle h$ הגובה
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\pi r h$
שטח הפנים – שני הבסיסים והמעטפת
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\pi r^2+2\pi r h$
הנפח – שטח הבסיס כפול הגובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi r^2 h$

החרוט

הקו היוצר $\displaystyle l$ – היתר במשולש שהניצבים שלו הרדיוס $\displaystyle r$ והגובה $\displaystyle h$
$\displaystyle l^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle r^2+h^2$
שטח המעטפת
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi r l$
שטח הפנים – הבסיס והמעטפת
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi r^2+\pi r l$
הנפח – שליש מנפח הגליל שיש לו אותו בסיס ואותו גובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\pi r^2 h}{3}$

משפט פיתגורס במרחב

אלכסון התיבה $\displaystyle d$ – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ שלושת המקצועות
$\displaystyle d^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+b^2+c^2$
בפירמידה ריבועית – $\displaystyle k$ הגובה של פאה צדדית, $\displaystyle h$ גובה הפירמידה, $\displaystyle a$ צלע הבסיס
$\displaystyle k^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle h^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2$

נוסחאות: יחס, פרופורציה ואחוזים, כיתה ח'

פתיחה בעמוד

יחס ופרופורציה

יחס הוא גם שבר
$\displaystyle a:b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{b}$
כפל בהצלבה בפרופורציה
$\displaystyle a\cdot d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\cdot c$ $\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}$
כמויות ביחס $\displaystyle a:b$ – $\displaystyle k$ הגודל של חלק אחד
$\displaystyle ak:bk$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a:b$
גדלים שווי יחס – היחס $\displaystyle k$ קבוע (למשל המחיר ליחידה)
$\displaystyle \frac{y}{x}=k$

קנה מידה

בקנה מידה $\displaystyle 1:n$ – $\displaystyle a$ האורך בשרטוט, $\displaystyle b$ האורך במציאות, באותה יחידה
$\displaystyle b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\cdot n$
שטח בקנה מידה $\displaystyle 1:n$ – גדל פי $\displaystyle n^2$ , ולא פי $\displaystyle n$
$\displaystyle S_b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_a\cdot n^2$

אחוזים ושינוי באחוזים

$\displaystyle p$ אחוזים הם $\displaystyle p$ מאיות
$\displaystyle p\%$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{p}{100}$
עלייה של $\displaystyle p\%$ – $\displaystyle a$ הכמות שלפני השינוי, $\displaystyle b$ הכמות שאחריו
$\displaystyle b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (100\%+p\%)\cdot a$
ירידה של $\displaystyle p\%$ – $\displaystyle a$ הכמות שלפני השינוי, $\displaystyle b$ הכמות שאחריו
$\displaystyle b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (100\%-p\%)\cdot a$
השינוי באחוזים – חלק מהכמות שלפני השינוי
$\displaystyle p\%=\frac{b-a}{a}$
שני שינויים זה אחר זה – עלייה של $\displaystyle p\%$ ואחריה עלייה של $\displaystyle q\%$ (בירידה: מינוס במקום פלוס)
$\displaystyle c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (100\%+p\%)\cdot(100\%+q\%)\cdot a$

נוסחאות: נתונים והסתברות, כיתה ח'

פתיחה בעמוד

שכיחות יחסית

השכיחות היחסית של תשובה – $\displaystyle f$ השכיחות שלה, $\displaystyle n$ סך כל השכיחויות
$\displaystyle \frac{f}{n}$

מדדי מרכז וטווח

הממוצע של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$
הממוצע מטבלת שכיחויות – $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ השכיחויות של הערכים $\displaystyle x_1, \dots, x_k$
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1f_1+x_2f_2+\dots+x_kf_k}{f_1+f_2+\dots+f_k}$
מקום החציון ברשימה מסודרת של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \frac{n+1}{2}$
הטווח – הערך הגדול ביותר פחות הערך הקטן ביותר
$\displaystyle R=x_{\max}-x_{\min}$

הסתברות

תוצאות שוות סיכוי – $\displaystyle k$ מספר התוצאות במאורע $\displaystyle A$ , $\displaystyle n$ מספר כל התוצאות
$\displaystyle P(A)=\frac{k}{n}$
מאורע בלתי אפשרי – 0, מאורע ודאי – 1
$\displaystyle 0\le P(A)\le1$
המאורע המשלים $\displaystyle \overline{A}$ – $\displaystyle A$ לא קורה
$\displaystyle P(\overline{A})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1-P(A)$
מספר הפעמים הצפוי שמאורע $\displaystyle A$ יקרה ב- $\displaystyle n$ ניסויים
$\displaystyle n\cdot P(A)$

נוסחאות: אלגברה, כיתה ט'

פתיחה בעמוד

חוקי חזקות

כפל חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{m}\cdot a^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m+n}$
חילוק חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{m}:a^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m-n}$ $\displaystyle a\neq0$
חזקה של חזקה
$\displaystyle \left(a^{m}\right)^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m\cdot n}$
חזקה של מכפלה
$\displaystyle (a\cdot b)^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{n}\cdot b^{n}$
חזקה של מנה
$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{n}}{b^{n}}$ $\displaystyle b\neq0$
חזקה אפס
$\displaystyle a^{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$

חוקי השורש הריבועי

שורש של מכפלה
$\displaystyle \sqrt{a\cdot b}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ $\displaystyle a\ge0,\ b\ge0$
שורש של מנה
$\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ $\displaystyle a\ge0,\ b>0$
ריבוע של שורש
$\displaystyle \left(\sqrt{a}\right)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a$ $\displaystyle a\ge0$
שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{a^{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a$ $\displaystyle a\ge0$

חוק הפילוג המורחב ונוסחאות הכפל המקוצר

חוק הפילוג המורחב
$\displaystyle (a+b)(c+d)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle ac+ad+bc+bd$
ריבוע של סכום
$\displaystyle (a+b)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}+2ab+b^{2}$
ריבוע של הפרש
$\displaystyle (a-b)^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}-2ab+b^{2}$
הפרש ריבועים
$\displaystyle (a+b)(a-b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}-b^{2}$

הפרבולה

הצגה סטנדרטית
$\displaystyle y=ax^{2}+bx+c$
הצגת הקודקוד – הקודקוד $\displaystyle (b,k)$
$\displaystyle y=a(x-b)^{2}+k$
הצגת המכפלה – החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle x$ ב- $\displaystyle x_1$ וב- $\displaystyle x_2$
$\displaystyle y=a(x-x_1)(x-x_2)$
שיעור ה- $\displaystyle x$ של הקודקוד, בהצגה הסטנדרטית
$\displaystyle x=-\frac{b}{2a}$

משוואה ריבועית

נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^{2}+bx+c}={0}$ , כש- $\displaystyle a\neq0$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

נוסחאות: גאומטריה, כיתה ט'

פתיחה בעמוד

זוויות וצלעות במשולש

סכום הזוויות במשולש
$\displaystyle \alpha+\beta+\gamma=180^{\circ}$
זווית חיצונית $\displaystyle \delta$ שווה לסכום שתי הזוויות הפנימיות שאינן צמודות לה
$\displaystyle \delta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha+\beta$
מול הצלע הגדולה מונחת הזווית הגדולה, ולהפך
$\displaystyle a>b\ \Leftrightarrow\ \alpha>\beta$

המשולש ישר הזווית

משפט פיתגורס – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הניצבים, $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle a^{2}+b^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c^{2}$
הניצב $\displaystyle a$ שמול זווית של $\displaystyle 30^{\circ}$ שווה למחצית היתר $\displaystyle c$
$\displaystyle a$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}c$
התיכון ליתר $\displaystyle m_c$ שווה למחצית היתר $\displaystyle c$
$\displaystyle m_c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}c$

זוויות בין ישרים מקבילים

זוויות מתאימות שוות, וגם זוויות מתחלפות
$\displaystyle \alpha=\beta$
זוויות חד־צדדיות
$\displaystyle \alpha+\beta=180^{\circ}$

זוויות במרובע

סכום הזוויות במרובע
$\displaystyle \alpha+\beta+\gamma+\delta=360^{\circ}$
בטרפז: שתי הזוויות שליד שוק
$\displaystyle \alpha+\beta=180^{\circ}$

שטחים

שטח משולש – $\displaystyle h_a$ הגובה לצלע $\displaystyle a$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a\cdot h_a}{2}$
שטח מקבילית – $\displaystyle h_a$ הגובה לצלע $\displaystyle a$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\cdot h_a$
שטח מלבן
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\cdot b$
שטח ריבוע
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}$
שטח טרפז – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הבסיסים, $\displaystyle h$ הגובה
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{(a+b)\cdot h}{2}$
שטח מעוין או דלתון – $\displaystyle d_1$ , $\displaystyle d_2$ האלכסונים
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{d_1\cdot d_2}{2}$
יחס השטחים של משולשים דומים – $\displaystyle k$ יחס הדמיון
$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k^{2}$

נוסחאות: הסתברות, כיתה ט'

פתיחה בעמוד

הסתברות של מאורע

תוצאות שוות סיכוי – $\displaystyle k$ מספר התוצאות במאורע $\displaystyle A$ , $\displaystyle n$ מספר כל התוצאות
$\displaystyle P(A)=\frac{k}{n}$
הסתברות היא מספר בין 0 ל-1 – מאורע ודאי 1, מאורע בלתי אפשרי 0
$\displaystyle 0\le P(A)\le1$
המאורע המשלים $\displaystyle \overline{A}$ – $\displaystyle A$ לא קורה
$\displaystyle P(\overline{A})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1-P(A)$

שכיחות יחסית

השכיחות היחסית – $\displaystyle k$ מספר הפעמים שהמאורע קרה, $\displaystyle n$ מספר הפעמים שעשו את הניסוי
$\displaystyle \frac{k}{n}$

ניסוי דו־שלבי

טבלת תוצאות, כשהמשבצות שוות סיכוי – $\displaystyle k$ המשבצות במאורע $\displaystyle A$ , $\displaystyle n$ כל המשבצות
$\displaystyle P(A)=\frac{k}{n}$
מסלול בדיאגרמת עץ – מכפלת ההסתברויות $\displaystyle p_1$ , $\displaystyle p_2$ על הענפים שלו; במודל השטח – שטח המלבן
$\displaystyle P=p_1\cdot p_2$
מאורע של כמה מסלולים – סכום ההסתברויות שלהם
$\displaystyle P(A)=P_1+P_2+\ldots$

נוסחאות: מדע וחברה, כיתה י' (3 יח"ל)

פתיחה בעמוד

מידע וייצוגים

$\displaystyle p$ אחוזים מתוך $\displaystyle n$
$\displaystyle p\%\cdot n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{p}{100}\cdot n$
שיעור ל-1,000 אנשים – $\displaystyle k$ מספר המקרים, $\displaystyle N$ מספר האנשים
$\displaystyle \frac{k}{N}\cdot1000$
קצב השינוי הממוצע בין הנקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
קשר קווי – $\displaystyle m$ השינוי ב- $\displaystyle y$ כש- $\displaystyle x$ גדל ב-1, $\displaystyle b$ הערך של $\displaystyle y$ כש- $\displaystyle {x}={0}$
$\displaystyle y=mx+b$

מדדי מרכז

הממוצע של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$
ממוצע משוקלל – $\displaystyle w_1, \dots, w_k$ המשקלים של הערכים $\displaystyle x_1, \dots, x_k$
$\displaystyle \bar{x}=\frac{w_1x_1+w_2x_2+\dots+w_kx_k}{w_1+w_2+\dots+w_k}$
ממוצע של נתונים מקובצים – $\displaystyle m_1, \dots, m_k$ אמצעי המחלקות, $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ השכיחויות שלהן
$\displaystyle \bar{x}\approx\frac{m_1f_1+m_2f_2+\dots+m_kf_k}{f_1+f_2+\dots+f_k}$
מקום החציון ברשימה מסודרת של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \frac{n+1}{2}$

הסתברות

תוצאות שוות סיכוי – $\displaystyle k$ מספר התוצאות במאורע $\displaystyle A$ , $\displaystyle n$ מספר כל התוצאות
$\displaystyle P(A)=\frac{k}{n}$
המאורע המשלים $\displaystyle \overline{A}$ – $\displaystyle A$ לא קורה
$\displaystyle P(\overline{A})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1-P(A)$
מסלול בדיאגרמת עץ – מכפלת ההסתברויות $\displaystyle p_1$ , $\displaystyle p_2$ על הענפים שלו
$\displaystyle P=p_1\cdot p_2$
מאורע של כמה מסלולים – סכום ההסתברויות שלהם
$\displaystyle P(A)=P_1+P_2+\ldots$
הערכת הסתברות משכיחות יחסית – $\displaystyle A$ קרה $\displaystyle f$ פעמים ב- $\displaystyle n$ ניסויים
$\displaystyle P(A)\approx\frac{f}{n}$
מספר הפעמים הצפוי שמאורע $\displaystyle A$ יקרה ב- $\displaystyle n$ ניסויים
$\displaystyle n\cdot P(A)$

נוסחאות: התמצאות במישור ובמרחב, כיתה י' (3 יח"ל)

פתיחה בעמוד

היקפים

היקף מלבן – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ שתי צלעות שנפגשות בקודקוד
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2(a+b)$
היקף ריבוע – $\displaystyle a$ אורך הצלע
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4a$
פאי
$\displaystyle \pi\approx3.14$
היקף המעגל – $\displaystyle d$ הקוטר
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi d$
היקף המעגל – $\displaystyle r$ הרדיוס
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\pi r$

מסלולים: פיתגורס, דרך, מהירות וזמן

משפט פיתגורס – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הניצבים, $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle c^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+b^2$
היתר
$\displaystyle c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a^2+b^2}$
ניצב
$\displaystyle a$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{c^2-b^2}$
מהירות – $\displaystyle s$ הדרך, $\displaystyle t$ הזמן
$\displaystyle v$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{s}{t}$
דרך
$\displaystyle s$ $\displaystyle =$ $\displaystyle v\cdot t$
זמן
$\displaystyle t$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{s}{v}$

שטחים

שטח מלבן
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\cdot b$
שטח ריבוע
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2$
שטח משולש – $\displaystyle h_a$ הגובה לצלע $\displaystyle a$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a\cdot h_a}{2}$
שטח מקבילית – $\displaystyle h_a$ הגובה לצלע $\displaystyle a$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\cdot h_a$
שטח טרפז – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הבסיסים, $\displaystyle h$ הגובה
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{(a+b)\cdot h}{2}$
שטח העיגול – $\displaystyle r$ הרדיוס
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi r^2$
מטר רבוע בסנטימטרים רבועים (דונם אחד הוא 1000 מ"ר)
$\displaystyle 1\text{ m}^2=100\cdot100\text{ cm}^2=10000\text{ cm}^2$

ריצופים

סכום הזוויות במצולע בעל $\displaystyle n$ צלעות
$\displaystyle 180^{\circ}\cdot(n-2)$
זווית של מצולע משוכלל בעל $\displaystyle n$ צלעות
$\displaystyle \alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{180^{\circ}\cdot(n-2)}{n}$
סכום הזוויות סביב קודקוד בריצוף
$\displaystyle \alpha_1+\alpha_2+\ldots=360^{\circ}$

נוסחאות: כלכלה ופיננסים, כיתה י' (3 יח"ל)

פתיחה בעמוד

קנייה ומכירה

מחיר ליחידה – $\displaystyle P$ המחיר של האריזה, $\displaystyle n$ מספר היחידות בה (גרמים, ליטרים, פריטים)
$\displaystyle u=\frac{P}{n}$
הנחה של $\displaystyle p\%$ – $\displaystyle a$ המחיר לפני ההנחה, $\displaystyle b$ המחיר אחריה
$\displaystyle b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (100\%-p\%)\cdot a$
מחיר עם מע"מ של 18% – $\displaystyle a$ המחיר בלי מע"מ, $\displaystyle b$ המחיר עם מע"מ
$\displaystyle b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1.18\cdot a$

מודל קווי

עלות כוללת – $\displaystyle x$ מספר היחידות, $\displaystyle m$ העלות ליחידה (השיפוע), $\displaystyle b$ העלות הקבועה
$\displaystyle y=mx+b$
העלות ליחידה משתי נקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ , $\displaystyle (x_2,y_2)$ על הישר
$\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
שתי תוכניות עולות אותו מחיר – נקודת החיתוך של שני הישרים
$\displaystyle m_1x+b_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m_2x+b_2$

רווח והפסד

העלות הכוללת – $\displaystyle F$ ההוצאות הקבועות, $\displaystyle c$ העלות של יחידה, $\displaystyle x$ מספר היחידות
$\displaystyle C=F+c\cdot x$
ההכנסה – $\displaystyle s$ מחיר המכירה של יחידה
$\displaystyle R=s\cdot x$
הרווח – ההכנסה פחות העלות (רווח שלילי הוא הפסד)
$\displaystyle P=R-C$
אחוז הרווח – מתוך העלות
$\displaystyle r\%=\frac{P}{C}$
נקודת האיזון – ההכנסה שווה לעלות
$\displaystyle s\cdot x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle F+c\cdot x$

שכר עבודה

שכר – $\displaystyle w$ השכר לשעה, $\displaystyle h$ מספר השעות
$\displaystyle S=w\cdot h$
שכר לשעה נוספת, בשתי השעות הנוספות הראשונות ביום
$\displaystyle 1.25\cdot w$
שכר לשעה נוספת, מהשעה הנוספת השלישית ביום
$\displaystyle 1.5\cdot w$
שכר נטו – $\displaystyle G$ השכר ברוטו, $\displaystyle D$ הניכויים
$\displaystyle N=G-D$

מדדי מרכז

הממוצע של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$
הממוצע מטבלת שכיחויות – $\displaystyle f_i$ השכיחות של הערך $\displaystyle x_i$
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1f_1+x_2f_2+\dots+x_kf_k}{f_1+f_2+\dots+f_k}$
המקום של החציון ברשימה מסודרת של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \frac{n+1}{2}$

נוסחאות: גאומטריה, כיתה י' (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

גאומטריה אנליטית

המרחק בין הנקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}$
אמצע הקטע
$\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$
השיפוע של ישר שעובר דרך שתי נקודות
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ $\displaystyle x_1\neq x_2$
משוואת הישר בצורה מפורשת – $\displaystyle m$ השיפוע, $\displaystyle b$ נקודת החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle y$
$\displaystyle y=mx+b$
משוואת הישר בצורה סתומה
$\displaystyle Ax+By+C=0$
הישר ששיפועו $\displaystyle m$ ועובר דרך הנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m(x-x_1)$
ישרים מקבילים
$\displaystyle m_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m_2$
ישרים מאונכים
$\displaystyle m_1\cdot m_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$
השיפוע – $\displaystyle \alpha$ הזווית שבין הישר לכיוון החיובי של ציר ה- $\displaystyle x$
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \tan\alpha$

דמיון משולשים וקטעי אמצעים

יחס הדמיון – צלעות מתאימות
$\displaystyle \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=k$
יחס ההיקפים
$\displaystyle \frac{P_1}{P_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k$
יחס השטחים
$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k^{2}$
יחס הגבהים, התיכונים וחוצי הזוויות המתאימים
$\displaystyle \frac{h_1}{h_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{d_1}{d_2}=k$
קטע אמצעים במשולש – $\displaystyle DE$ מקביל ל- $\displaystyle BC$
$\displaystyle DE$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}BC$
קטע אמצעים בטרפז – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הבסיסים
$\displaystyle EF$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a+b}{2}$

טריגונומטריה

סינוס – $\displaystyle a$ הניצב מול הזווית, $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle \sin\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{c}$
קוסינוס – $\displaystyle b$ הניצב ליד הזווית
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{b}{c}$
טנגנס – הניצב מול הזווית חלקי הניצב לידה
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{b}$
הטנגנס מהסינוס והקוסינוס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
הזהות מפיתגורס
$\displaystyle \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
זוויות שסכומן $\displaystyle 90^{\circ}$
$\displaystyle \sin(90^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \cos(90^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
סינוס של זווית קהה
$\displaystyle \sin(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
שטח משולש – $\displaystyle \gamma$ הזווית שבין הצלעות $\displaystyle a$ ו- $\displaystyle b$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

ערכים מדויקים

$\displaystyle \sin30^{\circ}=\cos60^{\circ}=\frac{1}{2}$
$\displaystyle \sin45^{\circ}=\cos45^{\circ}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\displaystyle \sin60^{\circ}=\cos30^{\circ}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\displaystyle \tan30^{\circ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sqrt{3}}{3}$
$\displaystyle \tan45^{\circ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
$\displaystyle \tan60^{\circ}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{3}$

קווים מיוחדים במשולש

מפגש התיכונים $\displaystyle G$ מחלק את התיכון $\displaystyle AD$ ביחס $\displaystyle 2:1$
$\displaystyle AG$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2GD$
מפגש התיכונים במערכת צירים
$\displaystyle G\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\ \frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$
התיכון $\displaystyle AD$ מחלק את המשולש לשני משולשים שווי שטח
$\displaystyle S_{ABD}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_{ACD}$
משפט חוצה הזווית – $\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$
$\displaystyle \frac{BD}{DC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{AB}{AC}$

נוסחאות: אלגברה וחשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

טכניקה אלגברית

ריבוע של סכום
$\displaystyle (a+b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+2ab+b^2$
ריבוע של הפרש
$\displaystyle (a-b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2-2ab+b^2$
הפרש ריבועים
$\displaystyle (a+b)(a-b)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2-b^2$
פירוק הטרינום – $\displaystyle x_1$ , $\displaystyle x_2$ שורשי המשוואה $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle ax^2+bx+c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a(x-x_1)(x-x_2)$
נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
מכפלת שורשים
$\displaystyle \sqrt{a}\cdot\sqrt{b}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{ab}$ $\displaystyle a\geq0,\ b\geq0$
מנת שורשים
$\displaystyle \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{\frac{a}{b}}$ $\displaystyle a\geq0,\ b>0$

תכונות של פונקציה

פונקציה זוגית – הגרף סימטרי לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x)$
פונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי לראשית הצירים
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -f(x)$
שיעור ה־ $\displaystyle x$ של קודקוד הפרבולה $\displaystyle {y}={ax^2+bx+c}$
$\displaystyle x=\frac{-b}{2a}$
ערך מוחלט
$\displaystyle |a|=\begin{cases}a & a\geq0\\-a & a<0\end{cases}$

טרנספורמציות של גרף

הזזה של $\displaystyle k$ יחידות למעלה ( $\displaystyle k<0$ – למטה)
$\displaystyle y=f(x)+k$
הזזה של $\displaystyle p$ יחידות ימינה ( $\displaystyle p<0$ – שמאלה)
$\displaystyle y=f(x-p)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle x$
$\displaystyle y=-f(x)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle y=f(-x)$
מתיחה ( $\displaystyle |a|>1$ ) או כיווץ ( $\displaystyle |a|<1$ )
$\displaystyle y=a\cdot f(x)$

הנגזרת וכללי הגזירה

קצב השינוי הממוצע בין $\displaystyle x_1$ ל־ $\displaystyle x_2$ – שיפוע המיתר
$\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
הנגזרת בנקודה – שיפוע המשיק
$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
נגזרת של חזקה
$\displaystyle (x^n)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle nx^{n-1}$
נגזרת של קבוע
$\displaystyle (c)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0$
נגזרת של כפל בקבוע
$\displaystyle (c\cdot f(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c\cdot f'(x)$
נגזרת של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (f(x)\pm g(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\pm g'(x)$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle (f(x)\cdot g(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
נגזרת של פונקציה מורכבת
$\displaystyle (f(g(x)))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(g(x))\cdot g'(x)$

המשיק לגרף

שיפוע המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ שעל הגרף
$\displaystyle m=f'(x_1)$
משוואת המשיק
$\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)$

הנגזרת של פונקציית שורש

נגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$
$\displaystyle (\sqrt{x})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\displaystyle x>0$
נגזרת של שורש של פונקציה
$\displaystyle (\sqrt{f(x)})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ $\displaystyle f(x)>0$

עלייה, ירידה וקיצון

הפונקציה עולה
$\displaystyle f'(x)>0$
הפונקציה יורדת
$\displaystyle f'(x)<0$
נקודה חשודה כקיצון
$\displaystyle f'(x)=0$

נוסחאות: סטטיסטיקה והסתברות, כיתה י' (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

הצגת נתונים

שכיחות יחסית – $\displaystyle f$ השכיחות של ערך, $\displaystyle n$ מספר כל הנתונים
$\displaystyle \frac{f}{n}$
שכיחות יחסית באחוזים
$\displaystyle \frac{f}{n}\cdot100\%$
הזווית של גזרה בדיאגרמת עיגול
$\displaystyle \frac{f}{n}\cdot360^{\circ}$

מדדי מרכז ומיקום

הממוצע של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$
ממוצע מטבלת שכיחויות – $\displaystyle x_1, \dots, x_k$ הערכים, $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ השכיחויות שלהם
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1f_1+x_2f_2+\dots+x_kf_k}{f_1+f_2+\dots+f_k}$
ממוצע משוקלל – $\displaystyle w_1, \dots, w_k$ המשקלים של הערכים $\displaystyle x_1, \dots, x_k$
$\displaystyle \bar{x}=\frac{w_1x_1+w_2x_2+\dots+w_kx_k}{w_1+w_2+\dots+w_k}$
ממוצע של נתונים בקבוצות – $\displaystyle m_1, \dots, m_k$ אמצעי הקבוצות, $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ השכיחויות שלהן
$\displaystyle \bar{x}\approx\frac{m_1f_1+m_2f_2+\dots+m_kf_k}{f_1+f_2+\dots+f_k}$
מקום החציון ברשימה מסודרת של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \frac{n+1}{2}$
מקום העשירון התחתון ברשימה מסודרת; העשירון העליון – $\displaystyle 0.9\cdot n$
$\displaystyle 0.1\cdot n$

מדדי פיזור

הטווח – הערך הגדול ביותר פחות הערך הקטן ביותר
$\displaystyle x_{max}-x_{min}$
השונות – הממוצע של ריבועי הסטיות מהממוצע
$\displaystyle \sigma^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2}{n}$
סטיית התקן – השורש של השונות
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\sigma^2}$
שונות מטבלת שכיחויות
$\displaystyle \sigma^2=\frac{(x_1-\bar{x})^2f_1+\dots+(x_k-\bar{x})^2f_k}{f_1+\dots+f_k}$

כללי ההסתברות

תוצאות שוות הסתברות – $\displaystyle k$ מספר התוצאות במאורע $\displaystyle A$ , $\displaystyle n$ מספר התוצאות במרחב המדגם
$\displaystyle P(A)=\frac{k}{n}$
ההסתברות של כל מאורע; $\displaystyle {P(\emptyset)}={0}$ , ו- $\displaystyle {P(U)}={1}$ למרחב המדגם $\displaystyle U$
$\displaystyle 0\le P(A)\le1$
המאורע המשלים $\displaystyle \overline{A}$ – $\displaystyle A$ לא קורה
$\displaystyle P(\overline{A})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1-P(A)$
איחוד – $\displaystyle A$ או $\displaystyle B$ (או שניהם); $\displaystyle A\cap B$ – החיתוך, גם $\displaystyle A$ וגם $\displaystyle B$
$\displaystyle P(A\cup B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
איחוד של מאורעות זרים
$\displaystyle P(A\cup B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)+P(B)$ $\displaystyle A\cap B=\emptyset$

הסתברות מותנית ואי־תלות

ההסתברות של $\displaystyle A$ בהינתן $\displaystyle B$
$\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
מסלול בעץ – מכפלת ההסתברויות על הענפים שלו
$\displaystyle P(A\cap B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(B)\cdot P(A|B)$
נוסחת ההסתברות השלמה – ממוצע משוקלל של ההסתברויות המותנות
$\displaystyle P(A)=P(B)\cdot P(A|B)+P(\overline{B})\cdot P(A|\overline{B})$
נוסחת בייס – מ- $\displaystyle P(B|A)$ אל $\displaystyle P(A|B)$
$\displaystyle P(A|B)\cdot P(B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(B|A)\cdot P(A)$
מאורעות בלתי תלויים
$\displaystyle P(A\cap B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)\cdot P(B)$
מאורעות בלתי תלויים – הידיעה ש- $\displaystyle B$ קרה לא משנה את ההסתברות של $\displaystyle A$
$\displaystyle P(A|B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)$

נוסחאות: גאומטריה, כיתה י' (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

מבוא לגאומטריה אנליטית

המרחק בין הנקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_1-x_2)^{2}+(y_1-y_2)^{2}}$
אמצע הקטע
$\displaystyle M\left(\frac{x_1+x_2}{2},\ \frac{y_1+y_2}{2}\right)$
השיפוע של ישר שעובר דרך שתי נקודות
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ $\displaystyle x_1\neq x_2$
הישר ששיפועו $\displaystyle m$ ועובר דרך הנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m(x-x_1)$
משוואה מפורשת של ישר – $\displaystyle m$ השיפוע, $\displaystyle b$ נקודת החיתוך עם ציר ה- $\displaystyle y$
$\displaystyle y=mx+b$
משוואה כללית של ישר
$\displaystyle Ax+By+C=0$
ישרים מקבילים
$\displaystyle m_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m_2$
ישרים מאונכים
$\displaystyle m_1\cdot m_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$
מעגל קנוני – המרכז בראשית הצירים, $\displaystyle R$ הרדיוס
$\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}$
מעגל שמרכזו $\displaystyle (a,b)$ ורדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$

קטעי אמצעים ומפגש התיכונים

קטע אמצעים במשולש – $\displaystyle DE$ מקביל ל- $\displaystyle BC$
$\displaystyle DE$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}BC$
קטע אמצעים בטרפז – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ הבסיסים
$\displaystyle EF$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a+b}{2}$
מפגש התיכונים $\displaystyle G$ מחלק את התיכון $\displaystyle AD$ ביחס $\displaystyle 2:1$
$\displaystyle AG$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2GD$
משפט פיתגורס והמשפט ההפוך: המשולש ישר זווית, והזווית הישרה מול $\displaystyle c$
$\displaystyle a^{2}+b^{2}=c^{2}$

פרופורציה ודמיון

תכונה של פרופורציה
$\displaystyle \frac{a}{b}=\frac{c}{d}\ \Rightarrow\ \frac{a+b}{b}=\frac{c+d}{d}$
משפט תאלס – $\displaystyle DE\parallel BC$
$\displaystyle \frac{AD}{DB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{AE}{EC}$
משפט תאלס המורחב – $\displaystyle DE\parallel BC$
$\displaystyle \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{DE}{BC}$
משפט חוצה הזווית – $\displaystyle AD$ חוצה את הזווית $\displaystyle A$
$\displaystyle \frac{BD}{DC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{AB}{AC}$
יחס הדמיון – צלעות מתאימות
$\displaystyle \frac{a_1}{a_2}=\frac{b_1}{b_2}=\frac{c_1}{c_2}=k$
גבהים, תיכונים, היקפים, רדיוסים של המעגלים החוסמים ושל המעגלים החסומים
$\displaystyle \frac{h_1}{h_2}=\frac{m_1}{m_2}=\frac{P_1}{P_2}=\frac{R_1}{R_2}=\frac{r_1}{r_2}=k$
יחס השטחים
$\displaystyle \frac{S_1}{S_2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k^{2}$

המעגל

זווית היקפית שווה למחצית הזווית המרכזית שנשענת על אותה קשת
$\displaystyle \angle ACB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\angle AOB$
זווית היקפית שנשענת על הקוטר $\displaystyle AB$
$\displaystyle \angle ACB=90^{\circ}$
מרובע $\displaystyle ABCD$ חסום במעגל – זוויות נגדיות
$\displaystyle \angle A+\angle C$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 180^{\circ}$
הזווית בין המשיק $\displaystyle AT$ למיתר $\displaystyle AB$ שווה לזווית היקפית שנשענת על $\displaystyle AB$ מצדו השני
$\displaystyle \angle BAT$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \angle ACB$
שני משיקים מהנקודה $\displaystyle P$
$\displaystyle PA=PB$
מרובע $\displaystyle ABCD$ חוסם מעגל
$\displaystyle AB+CD$ $\displaystyle =$ $\displaystyle BC+AD$
המיתרים $\displaystyle AB$ ו- $\displaystyle CD$ נחתכים בנקודה $\displaystyle E$
$\displaystyle AE\cdot EB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle CE\cdot ED$
שני חותכים מהנקודה $\displaystyle P$
$\displaystyle PA\cdot PB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle PC\cdot PD$
משיק $\displaystyle PT$ וחותך $\displaystyle PAB$ מהנקודה $\displaystyle P$
$\displaystyle PT^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle PA\cdot PB$

נוסחאות: חשבון דיפרנציאלי, כיתה י' (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

אלגברה

ריבוע של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (a\pm b)^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2\pm2ab+b^2$
הפרש ריבועים
$\displaystyle a^2-b^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a-b)(a+b)$
חזקה שלישית של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (a\pm b)^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^3\pm3a^2b+3ab^2\pm b^3$
סכום והפרש של חזקות שלישיות
$\displaystyle a^3\pm b^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a\pm b)(a^2\mp ab+b^2)$
נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
פירוק הטרינום – $\displaystyle x_1$ , $\displaystyle x_2$ שורשי המשוואה $\displaystyle {ax^2+bx+c}={0}$
$\displaystyle ax^2+bx+c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a(x-x_1)(x-x_2)$

תכונות של פונקציה

פונקציה זוגית – הגרף סימטרי לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x)$
פונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי לראשית הצירים
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -f(x)$
שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{x^2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |x|$
ערך מוחלט
$\displaystyle |a|=\begin{cases}a & a\geq0\\-a & a<0\end{cases}$

טרנספורמציות של גרף

הזזה של $\displaystyle k$ יחידות למעלה ( $\displaystyle k<0$ – למטה)
$\displaystyle y=f(x)+k$
הזזה של $\displaystyle p$ יחידות ימינה ( $\displaystyle p<0$ – שמאלה)
$\displaystyle y=f(x-p)$
מתיחה אנכית ( $\displaystyle |a|>1$ ) או כיווץ ( $\displaystyle |a|<1$ )
$\displaystyle y=a\cdot f(x)$
כיווץ אופקי פי $\displaystyle a$ ( $\displaystyle a>1$ ) או מתיחה ( $\displaystyle 0<a<1$ )
$\displaystyle y=f(ax)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle x$
$\displaystyle y=-f(x)$
שיקוף ביחס לציר ה־ $\displaystyle y$
$\displaystyle y=f(-x)$

הנגזרת

קצב השינוי הממוצע בין $\displaystyle x_1$ ל־ $\displaystyle x_2$ – שיפוע החותך
$\displaystyle \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$
הנגזרת בנקודה – שיפוע המשיק
$\displaystyle f'(x_0)=\lim_{h\to0}\frac{f(x_0+h)-f(x_0)}{h}$
נגזרת של חזקה
$\displaystyle (x^n)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle nx^{n-1}$
נגזרת של קבוע
$\displaystyle (c)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 0$
נגזרת של כפל בקבוע
$\displaystyle (c\cdot f(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c\cdot f'(x)$
נגזרת של סכום ושל הפרש
$\displaystyle (f(x)\pm g(x))'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\pm g'(x)$
המהירות הרגעית – הנגזרת של הדרך לפי הזמן
$\displaystyle v(t)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle s'(t)$

כללי גזירה

נגזרת של מכפלת פונקציות
$\displaystyle [f(x)\cdot g(x)]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
נגזרת של מנת פונקציות
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$
נגזרת של פונקציה מורכבת – נגזרת חיצונית כפול נגזרת פנימית
$\displaystyle [f(u(x))]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(u)\cdot u'(x)$
נגזרת של $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{x^2}$
נגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$
$\displaystyle (\sqrt{x})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\displaystyle x>0$
נגזרת של שורש של פונקציה
$\displaystyle (\sqrt{f(x)})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ $\displaystyle f(x)>0$

המשיק לגרף

שיפוע המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ שעל הגרף
$\displaystyle m=f'(x_1)$
משוואת המשיק
$\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)$

עלייה, ירידה וקיצון

הפונקציה עולה
$\displaystyle f'(x)>0$
הפונקציה יורדת
$\displaystyle f'(x)<0$
נקודה חשודה כקיצון
$\displaystyle f'(x)=0$

אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית – $\displaystyle a$ נקודת אפס של המכנה שאינה מאפסת את המונה
$\displaystyle x=a$
אסימפטוטה אופקית – $\displaystyle b$ הערך שהפונקציה מתקרבת אליו כש־ $\displaystyle x$ גדל או קטן בלי סוף
$\displaystyle y=b$

נוסחאות: טריגונומטריה, כיתה י' (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

מעגל היחידה (רדיאנים)

מעגל היחידה
$\displaystyle x^2+y^2=1$
הנקודה של המספר $\displaystyle t$ על מעגל היחידה
$\displaystyle P(t)=(\cos t,\ \sin t)$
כל המספרים שמתאימים לאותה נקודה כמו $\displaystyle t$ ( $\displaystyle k$ שלם)
$\displaystyle t+2\pi k$
מעבר בין רדיאנים למעלות
$\displaystyle \pi$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 180^{\circ}$
אורך קשת של $\displaystyle \alpha$ רדיאנים ( $\displaystyle R$ – רדיוס)
$\displaystyle \ell$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha R$
שטח גזרה של $\displaystyle \alpha$ רדיאנים ( $\displaystyle R$ – רדיוס)
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\alpha R^2$

ערכים מיוחדים

$\displaystyle \sin\frac{\pi}{6}=\cos\frac{\pi}{3}=\frac{1}{2}$
$\displaystyle \sin\frac{\pi}{4}=\cos\frac{\pi}{4}=\frac{\sqrt{2}}{2}$
$\displaystyle \sin\frac{\pi}{3}=\cos\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{2}$
$\displaystyle \tan\frac{\pi}{6}=\frac{\sqrt{3}}{3},\quad\tan\frac{\pi}{4}=1,\quad\tan\frac{\pi}{3}=\sqrt{3}$

זהויות

הזהות היסודית
$\displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
טנגנס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ $\displaystyle \cos\alpha\neq0$
$\displaystyle 1+\tan^2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\cos^2\alpha}$
$\displaystyle \sin(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\alpha$
$\displaystyle \cos(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \sin(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \cos(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
$\displaystyle \sin(\pi+\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\alpha$
$\displaystyle \cos(\pi+\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
$\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \sin(\alpha+2\pi k)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \tan(\alpha+\pi k)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \tan\alpha$

גרפים של פונקציות טריגונומטריות

סינוס כללי (ובאותו אופן קוסינוס)
$\displaystyle y=A\sin(ax+b)+B$
המחזור של $\displaystyle \sin(ax+b)$ ושל $\displaystyle \cos(ax+b)$
$\displaystyle T$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{2\pi}{|a|}$
הטווח של $\displaystyle A\sin(ax+b)+B$
$\displaystyle B-|A|\leq y\leq B+|A|$
המחזור של $\displaystyle \tan(ax+b)$
$\displaystyle T$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\pi}{|a|}$

משוואות טריגונומטריות ($k$ שלם)

הפתרונות של $\displaystyle {\sin x}={\sin\alpha}$
$\displaystyle x=\alpha+2\pi k,\quad x=\pi-\alpha+2\pi k$
הפתרונות של $\displaystyle {\cos x}={\cos\alpha}$
$\displaystyle x=\pm\alpha+2\pi k$
הפתרונות של $\displaystyle {\tan x}={\tan\alpha}$
$\displaystyle x=\alpha+\pi k$

טריגונומטריה במשולש (מעלות)

במשולש ישר זווית: $\displaystyle a$ הניצב מול $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle b$ הניצב שלידה, $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle \sin\alpha=\frac{a}{c},\quad\cos\alpha=\frac{b}{c},\quad\tan\alpha=\frac{a}{b}$
$\displaystyle \sin(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \cos(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
שטח משולש ( $\displaystyle \alpha$ – הזווית הכלואה בין הצלעות $\displaystyle b$ ו־ $\displaystyle c$ )
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}bc\sin\alpha$
שטח משולש ( $\displaystyle \beta$ ו־ $\displaystyle \gamma$ – הזוויות שליד הצלע $\displaystyle a$ )
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^2\sin\beta\sin\gamma}{2\sin(\beta+\gamma)}$
משפט הסינוסים ( $\displaystyle R$ – רדיוס המעגל החוסם את המשולש)
$\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$
משפט הקוסינוסים ( $\displaystyle \gamma$ – הזווית הכלואה בין הצלעות $\displaystyle a$ ו־ $\displaystyle b$ )
$\displaystyle c^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+b^2-2ab\cos\gamma$

נוסחאות: מדע וחברה, כיתה י"א (3 יח"ל)

פתיחה בעמוד

גדילה ודעיכה

תהליך מעריכי – $\displaystyle M_0$ הכמות בהתחלה, $\displaystyle q$ הגורם שבו הכמות מוכפלת בכל יחידת זמן, $\displaystyle M_t$ הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן
$\displaystyle M_t=M_0\cdot q^{t}$
גורם הגדילה – גדילה של $\displaystyle p$ אחוזים בכל יחידת זמן
$\displaystyle q=1+\frac{p}{100}$
גורם הדעיכה – דעיכה של $\displaystyle p$ אחוזים בכל יחידת זמן
$\displaystyle q=1-\frac{p}{100}$
דעיכה לפי זמן מחצית חיים – $\displaystyle n$ מספר זמני מחצית החיים שעברו
$\displaystyle M_t=M_0\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^{n}$
מספר זמני מחצית החיים – $\displaystyle t$ הזמן שעבר, $\displaystyle T$ זמן מחצית החיים
$\displaystyle n=\frac{t}{T}$
גדילה קווית – הכמות גדלה ב- $\displaystyle d$ בכל יחידת זמן
$\displaystyle M_t=M_0+d\cdot t$

מדדי פיזור

הממוצע של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$
הטווח – הנתון הגדול ביותר פחות הקטן ביותר
$\displaystyle x_{\max}-x_{\min}$
הסטייה של הנתון $\displaystyle x_i$ מהממוצע
$\displaystyle x_i-\bar{x}$
סטיית התקן של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^2+(x_2-\bar{x})^2+\dots+(x_n-\bar{x})^2}{n}}$
סטיית התקן מטבלת שכיחויות – $\displaystyle f_1, \dots, f_k$ השכיחויות של הערכים $\displaystyle x_1, \dots, x_k$
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{f_1(x_1-\bar{x})^2+f_2(x_2-\bar{x})^2+\dots+f_k(x_k-\bar{x})^2}{f_1+f_2+\dots+f_k}}$

הסתברות

המאורע המשלים $\displaystyle \overline{A}$ – $\displaystyle A$ לא קורה
$\displaystyle P(\overline{A})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1-P(A)$
מסלול בדיאגרמת עץ – מכפלת ההסתברויות על הענפים שלו
$\displaystyle P=p_1\cdot p_2\cdot p_3$
“לפחות פעם אחת” ב- $\displaystyle n$ ניסויים בלתי תלויים – $\displaystyle p$ ההסתברות שזה קורה בכל ניסוי
$\displaystyle 1-(1-p)^{n}$
הסתברות מותנית – ההסתברות ל- $\displaystyle A$ כשידוע ש- $\displaystyle B$ קרה; $\displaystyle A\cap B$ – גם $\displaystyle A$ וגם $\displaystyle B$
$\displaystyle P(A|B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
ההסתברות של “גם $\displaystyle B$ וגם $\displaystyle A$ ”
$\displaystyle P(A\cap B)=P(B)\cdot P(A|B)$
מאורעות בלתי תלויים – הידיעה ש- $\displaystyle B$ קרה אינה משנה את ההסתברות של $\displaystyle A$
$\displaystyle P(A|B)=P(A)$
התוחלת – $\displaystyle x_1, \dots, x_k$ הערכים האפשריים, $\displaystyle p_1, \dots, p_k$ ההסתברויות שלהם
$\displaystyle E=x_1p_1+x_2p_2+\dots+x_kp_k$

נוסחאות: התמצאות במישור ובמרחב, כיתה י"א (3 יח"ל)

פתיחה בעמוד

קנה מידה

האורך במציאות – $\displaystyle l$ האורך במפה, בקנה מידה $\displaystyle 1:n$
$\displaystyle L$ $\displaystyle =$ $\displaystyle n\cdot l$
השטח במציאות – $\displaystyle s$ השטח במפה, בקנה מידה $\displaystyle 1:n$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle n^{2}\cdot s$

צורות דומות

יחס הדמיון – $\displaystyle a_1$ , $\displaystyle a_2$ צלעות מתאימות
$\displaystyle k$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_2}{a_1}$
יחס השטחים של צורות דומות
$\displaystyle \frac{S_2}{S_1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k^{2}$
גובה לפי הצל – $\displaystyle H$ , $\displaystyle S$ העצם והצל שלו; $\displaystyle h$ , $\displaystyle s$ מקל והצל שלו
$\displaystyle \frac{H}{S}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{h}{s}$

טריגונומטריה במשולש ישר זווית

סינוס – $\displaystyle a$ הניצב מול הזווית, $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle \sin\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{c}$
קוסינוס – $\displaystyle b$ הניצב ליד הזווית
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{b}{c}$
טנגנס – הניצב מול הזווית חלקי הניצב לידה
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{b}$
הזווית מהטנגנס (וכך גם $\displaystyle \sin^{-1}$ , $\displaystyle \cos^{-1}$ )
$\displaystyle \alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \tan^{-1}\frac{a}{b}$
משפט פיתגורס
$\displaystyle a^2+b^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c^2$
שיפוע באחוזים – $\displaystyle \alpha$ הזווית עם הקו האופקי
$\displaystyle p$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 100\cdot\tan\alpha$

נוסחאות: כלכלה ופיננסים, כיתה י"א (3 יח"ל)

פתיחה בעמוד

גדילה ודעיכה

ריבית פשוטה – $\displaystyle A_0$ הקרן, $\displaystyle p$ שיעור הריבית לשנה באחוזים, $\displaystyle n$ מספר השנים, $\displaystyle A$ הסכום בסוף
$\displaystyle A=A_0+n\cdot A_0\cdot\frac{p}{100}$
גורם הגדילה – עלייה של $\displaystyle p$ אחוזים
$\displaystyle q=1+\frac{p}{100}$
גורם הדעיכה – ירידה של $\displaystyle p$ אחוזים
$\displaystyle q=1-\frac{p}{100}$
גדילה ודעיכה – $\displaystyle A_0$ הערך בהתחלה, $\displaystyle q$ הגורם לתקופה, $\displaystyle n$ מספר התקופות, $\displaystyle A$ הערך בסוף
$\displaystyle A$ $\displaystyle =$ $\displaystyle A_0\cdot q^{n}$
הגורם של שני שינויים בזה אחר זה
$\displaystyle q_1\cdot q_2$
הערך היום של סכום $\displaystyle A$ בעוד $\displaystyle n$ שנים, כשהמחירים עולים פי $\displaystyle q$ בכל שנה
$\displaystyle \frac{A}{q^{n}}$
כלל 72 – מספר השנים בערך עד שסכום מוכפל, בגדילה של $\displaystyle p$ אחוזים לשנה
$\displaystyle n\approx\frac{72}{p}$

ממוצע ופיזור

הממוצע של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1+x_2+\dots+x_n}{n}$
הטווח
$\displaystyle x_{\max}-x_{\min}$
השונות – ממוצע הריבועים של הסטיות מהממוצע
$\displaystyle \sigma^{2}=\frac{(x_1-\bar{x})^{2}+(x_2-\bar{x})^{2}+\dots+(x_n-\bar{x})^{2}}{n}$
סטיית התקן
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\sigma^{2}}$

רבעונים ועשירונים

מקום החציון ברשימה מסודרת של $\displaystyle n$ נתונים
$\displaystyle \frac{n+1}{2}$
הטווח הבין־רבעוני – $\displaystyle Q_1$ הרבעון התחתון, $\displaystyle Q_3$ הרבעון העליון
$\displaystyle Q_3-Q_1$
הפער בין העשירון העליון לתחתון – פי כמה ההכנסה הממוצעת בעשירון 10 גדולה מזו שבעשירון 1
$\displaystyle \frac{\bar{x}_{10}}{\bar{x}_{1}}$

נוסחאות: גאומטריה, כיתה י"א (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

משוואת המעגל

משוואה קנונית – מרכז בראשית הצירים, רדיוס $\displaystyle R$
$\displaystyle x^{2}+y^{2}=R^{2}$
משוואה כללית – מרכז $\displaystyle (a,b)$ , רדיוס $\displaystyle R$
$\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$
המרחק בין שתי נקודות
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}$
אמצע קטע
$\displaystyle x_M=\frac{x_1+x_2}{2},\ y_M=\frac{y_1+y_2}{2}$
ישרים מאונכים – $\displaystyle m_1$ , $\displaystyle m_2$ השיפועים
$\displaystyle m_1\cdot m_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$

זוויות ומיתרים במעגל

זווית היקפית – מחצית הזווית המרכזית הנשענת על אותה הקשת
$\displaystyle \angle ACB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\angle AOB$
מרובע חסום במעגל – סכום זוג זוויות נגדיות
$\displaystyle \angle A+\angle C$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 180^{\circ}$
מיתר $\displaystyle AB$ – $\displaystyle d$ המרחק של המיתר ממרכז המעגל
$\displaystyle \left(\frac{AB}{2}\right)^{2}+d^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle R^{2}$

משיקים

שני משיקים מנקודה $\displaystyle P$ – $\displaystyle A$ , $\displaystyle B$ נקודות ההשקה
$\displaystyle PA=PB$
קטע המשיק $\displaystyle PA$ – $\displaystyle O$ מרכז המעגל
$\displaystyle PA^{2}+R^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle PO^{2}$

טריגונומטריה, היקף ושטח

משפט הסינוסים – $\displaystyle R$ רדיוס המעגל החוסם את המשולש
$\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$
שטח משולש – $\displaystyle \gamma$ הזווית שבין הצלעות $\displaystyle a$ ו- $\displaystyle b$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma$
שטח מקבילית – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ צלעות סמוכות, $\displaystyle \alpha$ הזווית שביניהן
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle ab\sin\alpha$
סינוס של זווית קהה
$\displaystyle \sin(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
היקף המעגל
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\pi R$
שטח העיגול
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi R^{2}$

נוסחאות: חשבון דיפרנציאלי ואינטגרלי, כיתה י"א (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

טרנספורמציות של הגרף של $f$

הזזה אופקית: $\displaystyle p$ יחידות ימינה ( $\displaystyle p>0$ ) או שמאלה ( $\displaystyle p<0$ )
$\displaystyle y=f(x-p)$
הזזה אנכית: $\displaystyle k$ יחידות למעלה ( $\displaystyle k>0$ ) או למטה ( $\displaystyle k<0$ )
$\displaystyle y=f(x)+k$
שיקוף ביחס לציר $\displaystyle x$
$\displaystyle y=-f(x)$
שיקוף ביחס לציר $\displaystyle y$
$\displaystyle y=f(-x)$
מתיחה ( $\displaystyle a>1$ ) או כיווץ ( $\displaystyle 0<a<1$ ) אנכיים
$\displaystyle y=a\cdot f(x)$
ערך מוחלט: החלק שמתחת לציר $\displaystyle x$ משתקף מעליו
$\displaystyle y=|f(x)|$

פונקציה רציונלית

אסימפטוטה אופקית כשהמונה והמכנה מאותה מעלה – $\displaystyle a$ ו- $\displaystyle b$ המקדמים של החזקה הגבוהה
$\displaystyle y=\frac{a}{b}$
אסימפטוטה אופקית כשמעלת המונה קטנה ממעלת המכנה
$\displaystyle y=0$
פונקציה זוגית – הגרף סימטרי ביחס לציר $\displaystyle y$
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f(x)$
פונקציה אי־זוגית – הגרף סימטרי ביחס לראשית
$\displaystyle f(-x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -f(x)$

נגזרות ומשיק

נגזרת של חזקה
$\displaystyle \left(x^{n}\right)'=nx^{n-1}$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle \left(u\cdot v\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle u'\cdot v+u\cdot v'$
נגזרת של מנה
$\displaystyle \left(\frac{u}{v}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{u'\cdot v-u\cdot v'}{v^{2}}$
נגזרת של $\displaystyle \frac{c}{x}$
$\displaystyle \left(\frac{c}{x}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{c}{x^{2}}$
נגזרת של שורש – $\displaystyle u$ פונקציה של $\displaystyle x$
$\displaystyle \left(\sqrt{u}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{u'}{2\sqrt{u}}$
משוואת המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m(x-x_1)$
שיפוע המשיק
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x_1)$

חקירה בעזרת הנגזרת

הפונקציה עולה
$\displaystyle f'(x)>0$
הפונקציה יורדת
$\displaystyle f'(x)<0$
נקודה חשודה כקיצון – בודקים את הסימן של $\displaystyle f'$ משני צדיה
$\displaystyle f'(x)=0$

אינטגרלים ושטחים

אינטגרל של חזקה
$\displaystyle \int x^{n}\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ $\displaystyle n\neq-1$
אינטגרל של $\displaystyle \frac{c}{(ax+b)^{2}}$
$\displaystyle \int\frac{c}{(ax+b)^{2}}\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{c}{a(ax+b)}+C$
האינטגרל המסוים – $\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle F(b)-F(a)$
השטח בין שני גרפים, מ- $\displaystyle {x}={a}$ עד $\displaystyle {x}={b}$
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$

נוסחאות: סטטיסטיקה, כיתה י"א (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

ממוצע וסטיית תקן

הממוצע – $\displaystyle f_1, \dots, f_n$ השכיחויות, $\displaystyle N$ מספר הנתונים
$\displaystyle \bar{x}=\frac{x_1f_1+x_2f_2+\dots+x_nf_n}{N}$
סטיית התקן
$\displaystyle S=\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^{2}f_1+(x_2-\bar{x})^{2}f_2+\dots+(x_n-\bar{x})^{2}f_n}{N}}$

ציון תקן

ציון התקן של הנתון $\displaystyle x$
$\displaystyle z=\frac{x-\bar{x}}{S}$
הנתון שציון התקן שלו $\displaystyle z$
$\displaystyle x=\bar{x}+z\cdot S$

התפלגות נורמלית

ציון התקן בהתפלגות נורמלית – $\displaystyle \mu$ הממוצע, $\displaystyle \sigma$ סטיית התקן
$\displaystyle z=\frac{x-\mu}{\sigma}$
בטווח של סטיית תקן אחת מהממוצע
$\displaystyle P(\mu-\sigma<X<\mu+\sigma)\approx68\%$
בטווח של שתי סטיות תקן מהממוצע
$\displaystyle P(\mu-2\sigma<X<\mu+2\sigma)\approx95\%$
מעל ציון תקן
$\displaystyle P(Z>z)=1-P(Z<z)$
הסימטריה של העקומה
$\displaystyle P(Z>z)=P(Z<-z)$
בין שני ציוני תקן
$\displaystyle P(z_1<Z<z_2)=P(Z<z_2)-P(Z<z_1)$

טבלת ההתפלגות הנורמלית הסטנדרטית המצטברת

בטבלה: השורה – $\displaystyle z$ עד הספרה הראשונה אחרי הנקודה; העמודה – הספרה השנייה. בשורה שלילית העמודה מתרחקת מ-0: בשורה $\displaystyle -1.2$ ובעמודה 3 נמצא $\displaystyle \Phi(-1.23)$ .
$\displaystyle \Phi(z)=P(Z<z)$

`z`	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
-3.0	0.0013	0.0013	0.0013	0.0012	0.0012	0.0011	0.0011	0.0011	0.0010	0.0010
-2.9	0.0019	0.0018	0.0018	0.0017	0.0016	0.0016	0.0015	0.0015	0.0014	0.0014
-2.8	0.0026	0.0025	0.0024	0.0023	0.0023	0.0022	0.0021	0.0021	0.0020	0.0019
-2.7	0.0035	0.0034	0.0033	0.0032	0.0031	0.0030	0.0029	0.0028	0.0027	0.0026
-2.6	0.0047	0.0045	0.0044	0.0043	0.0041	0.0040	0.0039	0.0038	0.0037	0.0036
-2.5	0.0062	0.0060	0.0059	0.0057	0.0055	0.0054	0.0052	0.0051	0.0049	0.0048
-2.4	0.0082	0.0080	0.0078	0.0075	0.0073	0.0071	0.0069	0.0068	0.0066	0.0064
-2.3	0.0107	0.0104	0.0102	0.0099	0.0096	0.0094	0.0091	0.0089	0.0087	0.0084
-2.2	0.0139	0.0136	0.0132	0.0129	0.0125	0.0122	0.0119	0.0116	0.0113	0.0110
-2.1	0.0179	0.0174	0.0170	0.0166	0.0162	0.0158	0.0154	0.0150	0.0146	0.0143
-2.0	0.0228	0.0222	0.0217	0.0212	0.0207	0.0202	0.0197	0.0192	0.0188	0.0183
-1.9	0.0287	0.0281	0.0274	0.0268	0.0262	0.0256	0.0250	0.0244	0.0239	0.0233
-1.8	0.0359	0.0351	0.0344	0.0336	0.0329	0.0322	0.0314	0.0307	0.0301	0.0294
-1.7	0.0446	0.0436	0.0427	0.0418	0.0409	0.0401	0.0392	0.0384	0.0375	0.0367
-1.6	0.0548	0.0537	0.0526	0.0516	0.0505	0.0495	0.0485	0.0475	0.0465	0.0455
-1.5	0.0668	0.0655	0.0643	0.0630	0.0618	0.0606	0.0594	0.0582	0.0571	0.0559
-1.4	0.0808	0.0793	0.0778	0.0764	0.0749	0.0735	0.0721	0.0708	0.0694	0.0681
-1.3	0.0968	0.0951	0.0934	0.0918	0.0901	0.0885	0.0869	0.0853	0.0838	0.0823
-1.2	0.1151	0.1131	0.1112	0.1093	0.1075	0.1056	0.1038	0.1020	0.1003	0.0985
-1.1	0.1357	0.1335	0.1314	0.1292	0.1271	0.1251	0.1230	0.1210	0.1190	0.1170
-1.0	0.1587	0.1562	0.1539	0.1515	0.1492	0.1469	0.1446	0.1423	0.1401	0.1379
-0.9	0.1841	0.1814	0.1788	0.1762	0.1736	0.1711	0.1685	0.1660	0.1635	0.1611
-0.8	0.2119	0.2090	0.2061	0.2033	0.2005	0.1977	0.1949	0.1922	0.1894	0.1867
-0.7	0.2420	0.2389	0.2358	0.2327	0.2296	0.2266	0.2236	0.2206	0.2177	0.2148
-0.6	0.2743	0.2709	0.2676	0.2643	0.2611	0.2578	0.2546	0.2514	0.2483	0.2451
-0.5	0.3085	0.3050	0.3015	0.2981	0.2946	0.2912	0.2877	0.2843	0.2810	0.2776
-0.4	0.3446	0.3409	0.3372	0.3336	0.3300	0.3264	0.3228	0.3192	0.3156	0.3121
-0.3	0.3821	0.3783	0.3745	0.3707	0.3669	0.3632	0.3594	0.3557	0.3520	0.3483
-0.2	0.4207	0.4168	0.4129	0.4090	0.4052	0.4013	0.3974	0.3936	0.3897	0.3859
-0.1	0.4602	0.4562	0.4522	0.4483	0.4443	0.4404	0.4364	0.4325	0.4286	0.4247
-0.0	0.5000	0.4960	0.4920	0.4880	0.4840	0.4801	0.4761	0.4721	0.4681	0.4641
0.0	0.5000	0.5040	0.5080	0.5120	0.5160	0.5199	0.5239	0.5279	0.5319	0.5359
0.1	0.5398	0.5438	0.5478	0.5517	0.5557	0.5596	0.5636	0.5675	0.5714	0.5753
0.2	0.5793	0.5832	0.5871	0.5910	0.5948	0.5987	0.6026	0.6064	0.6103	0.6141
0.3	0.6179	0.6217	0.6255	0.6293	0.6331	0.6368	0.6406	0.6443	0.6480	0.6517
0.4	0.6554	0.6591	0.6628	0.6664	0.6700	0.6736	0.6772	0.6808	0.6844	0.6879
0.5	0.6915	0.6950	0.6985	0.7019	0.7054	0.7088	0.7123	0.7157	0.7190	0.7224
0.6	0.7257	0.7291	0.7324	0.7357	0.7389	0.7422	0.7454	0.7486	0.7517	0.7549
0.7	0.7580	0.7611	0.7642	0.7673	0.7704	0.7734	0.7764	0.7794	0.7823	0.7852
0.8	0.7881	0.7910	0.7939	0.7967	0.7995	0.8023	0.8051	0.8078	0.8106	0.8133
0.9	0.8159	0.8186	0.8212	0.8238	0.8264	0.8289	0.8315	0.8340	0.8365	0.8389
1.0	0.8413	0.8438	0.8461	0.8485	0.8508	0.8531	0.8554	0.8577	0.8599	0.8621
1.1	0.8643	0.8665	0.8686	0.8708	0.8729	0.8749	0.8770	0.8790	0.8810	0.8830
1.2	0.8849	0.8869	0.8888	0.8907	0.8925	0.8944	0.8962	0.8980	0.8997	0.9015
1.3	0.9032	0.9049	0.9066	0.9082	0.9099	0.9115	0.9131	0.9147	0.9162	0.9177
1.4	0.9192	0.9207	0.9222	0.9236	0.9251	0.9265	0.9279	0.9292	0.9306	0.9319
1.5	0.9332	0.9345	0.9357	0.9370	0.9382	0.9394	0.9406	0.9418	0.9429	0.9441
1.6	0.9452	0.9463	0.9474	0.9484	0.9495	0.9505	0.9515	0.9525	0.9535	0.9545
1.7	0.9554	0.9564	0.9573	0.9582	0.9591	0.9599	0.9608	0.9616	0.9625	0.9633
1.8	0.9641	0.9649	0.9656	0.9664	0.9671	0.9678	0.9686	0.9693	0.9699	0.9706
1.9	0.9713	0.9719	0.9726	0.9732	0.9738	0.9744	0.9750	0.9756	0.9761	0.9767
2.0	0.9772	0.9778	0.9783	0.9788	0.9793	0.9798	0.9803	0.9808	0.9812	0.9817
2.1	0.9821	0.9826	0.9830	0.9834	0.9838	0.9842	0.9846	0.9850	0.9854	0.9857
2.2	0.9861	0.9864	0.9868	0.9871	0.9875	0.9878	0.9881	0.9884	0.9887	0.9890
2.3	0.9893	0.9896	0.9898	0.9901	0.9904	0.9906	0.9909	0.9911	0.9913	0.9916
2.4	0.9918	0.9920	0.9922	0.9925	0.9927	0.9929	0.9931	0.9932	0.9934	0.9936
2.5	0.9938	0.9940	0.9941	0.9943	0.9945	0.9946	0.9948	0.9949	0.9951	0.9952
2.6	0.9953	0.9955	0.9956	0.9957	0.9959	0.9960	0.9961	0.9962	0.9963	0.9964
2.7	0.9965	0.9966	0.9967	0.9968	0.9969	0.9970	0.9971	0.9972	0.9973	0.9974
2.8	0.9974	0.9975	0.9976	0.9977	0.9977	0.9978	0.9979	0.9979	0.9980	0.9981
2.9	0.9981	0.9982	0.9982	0.9983	0.9984	0.9984	0.9985	0.9985	0.9986	0.9986
3.0	0.9987	0.9987	0.9987	0.9988	0.9988	0.9989	0.9989	0.9989	0.9990	0.9990

מקדם המתאם

מנתונים גולמיים
$\displaystyle r=\frac{1}{N\cdot S_x\cdot S_y}\left[(x_1-\bar{x})(y_1-\bar{y})+\dots+(x_N-\bar{x})(y_N-\bar{y})\right]$
מנתונים מתוקננים – $\displaystyle z_x$ , $\displaystyle z_y$ ציוני התקן
$\displaystyle r=\frac{1}{N}\left[(z_x)_1(z_y)_1+\dots+(z_x)_N(z_y)_N\right]$
תמיד בין $\displaystyle -1$ ל- $\displaystyle 1$
$\displaystyle -1\le r\le1$

ישר הרגרסיה

השיפוע של ישר הרגרסיה
$\displaystyle m=r\cdot\frac{S_y}{S_x}$
ישר הרגרסיה לניבוי $\displaystyle y$ לפי $\displaystyle x$ – עובר בנקודת הממוצעים
$\displaystyle y-\bar{y}=m(x-\bar{x})$

נוסחאות: סדרות ואינדוקציה, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

סדרה וסכום האיברים הראשונים

האיבר מהסכום – $\displaystyle S_n$ סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_n-S_{n-1}$ $\displaystyle n\geq2$
האיבר הראשון הוא הסכום של איבר אחד
$\displaystyle a_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_1$

סדרה חשבונית

כלל הנסיגה – $\displaystyle d$ הפרש הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n+d$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1+(n-1)d$
הממוצע החשבוני של השכנים
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(a_1+a_n)}{2}$
הסכום בלי האיבר האחרון
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n\left[2a_1+(n-1)d\right]}{2}$

סדרה הנדסית

כלל הנסיגה – $\displaystyle q$ מנת הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n\cdot q$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1\cdot q^{n-1}$
הממוצע ההנדסי: הריבוע של איבר הוא מכפלת שכניו
$\displaystyle a_n^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{n-1}\cdot a_{n+1}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$ $\displaystyle q\neq1$

סדרה הנדסית אינסופית

סכום הסדרה המתכנסת
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1}{1-q}$ $\displaystyle -1<q<1,\ q\neq0$

חוקי החזקות

מכפלת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^m\cdot a^n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m+n}$
מנת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle \frac{a^m}{a^n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{m-n}$ $\displaystyle a\neq0$
חזקה של חזקה
$\displaystyle \left(a^m\right)^n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{mn}$
חזקה עם מעריך 0
$\displaystyle a^0$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$
חזקה עם מעריך שלילי
$\displaystyle a^{-n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^n}$ $\displaystyle a\neq0$

סכומים שהוכחו באינדוקציה

סכום המספרים הטבעיים
$\displaystyle 1+2+3+\ldots+n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(n+1)}{2}$
סכום המספרים האי־זוגיים
$\displaystyle 1+3+5+\ldots+(2n-1)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle n^2$
סכום הריבועים
$\displaystyle 1^2+2^2+3^2+\ldots+n^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
סכום החזקות השלישיות
$\displaystyle 1^3+2^3+3^3+\ldots+n^3$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n^2(n+1)^2}{4}$

נוסחאות: טריגונומטריה, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

זהויות בסיסיות

זהות פיתגורס
$\displaystyle \sin^{2}\alpha+\cos^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
הטנגנס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$ $\displaystyle \cos\alpha\neq0$
$\displaystyle 1+\tan^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\cos^{2}\alpha}$
$\displaystyle \sin(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\alpha$
$\displaystyle \cos(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \sin(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
$\displaystyle \cos(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
$\displaystyle \sin\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
$\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$

סכום והפרש של זוויות

$\displaystyle \cos(\alpha\pm\beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha\cdot\cos\beta\mp\sin\alpha\cdot\sin\beta$
$\displaystyle \sin(\alpha\pm\beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha\cdot\cos\beta\pm\cos\alpha\cdot\sin\beta$
$\displaystyle \tan(\alpha\pm\beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\tan\alpha\pm\tan\beta}{1\mp\tan\alpha\cdot\tan\beta}$

זווית כפולה

$\displaystyle \sin2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha$
$\displaystyle \cos2\alpha=\cos^{2}\alpha-\sin^{2}\alpha=2\cos^{2}\alpha-1=1-2\sin^{2}\alpha$
$\displaystyle \tan2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{2\tan\alpha}{1-\tan^{2}\alpha}$
$\displaystyle \cos^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1+\cos2\alpha}{2}$
$\displaystyle \sin^{2}\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1-\cos2\alpha}{2}$

סכום והפרש של סינוסים ושל קוסינוסים

$\displaystyle \sin\alpha+\sin\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\displaystyle \sin\alpha-\sin\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin\frac{\alpha-\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha+\beta}{2}$
$\displaystyle \cos\alpha+\cos\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\cos\frac{\alpha-\beta}{2}$
$\displaystyle \cos\alpha-\cos\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -2\sin\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$

משוואות – הפתרון הכללי ($k$ שלם)

$\displaystyle \sin x=\sin\alpha\iff x=\alpha+2\pi k\ \text{or}\ x=\pi-\alpha+2\pi k$
$\displaystyle \cos x=\cos\alpha\iff x=\pm\alpha+2\pi k$
$\displaystyle \tan x=\tan\alpha\iff x=\alpha+\pi k$

משולש

משפט הסינוסים ( $\displaystyle R$ – רדיוס המעגל החוסם)
$\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$
משפט הקוסינוסים ( $\displaystyle \gamma$ – הזווית שבין $\displaystyle a$ ל- $\displaystyle b$ )
$\displaystyle c^{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}+b^{2}-2a\cdot b\cdot\cos\gamma$
שטח משולש ( $\displaystyle \alpha$ – הזווית שבין $\displaystyle b$ ל- $\displaystyle c$ )
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}b\cdot c\cdot\sin\alpha$
שטח משולש ( $\displaystyle \beta$ , $\displaystyle \gamma$ – הזוויות שליד $\displaystyle a$ )
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{2}\cdot\sin\beta\cdot\sin\gamma}{2\cdot\sin(\beta+\gamma)}$

מעגל ($\alpha$ ברדיאנים, $R$ – רדיוס)

שטח עיגול
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi R^{2}$
היקף מעגל
$\displaystyle P$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\pi R$
אורך קשת
$\displaystyle l$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha\cdot R$
שטח גזרה
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\alpha\cdot R^{2}$

גופים ($S$ – שטח הבסיס, $h$ – גובה, $l$ – קו יוצר)

נפח מנסרה וגליל
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S\cdot h$
נפח פירמידה וחרוט
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{S\cdot h}{3}$
המעטפת של חרוט
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi R\cdot l$
נפח כדור
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{4}{3}\pi R^{3}$
שטח הפנים של כדור
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\pi R^{2}$

נוסחאות: הסתברות, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

כללי ההסתברות

תוצאות שוות הסתברות – $\displaystyle k$ מספר התוצאות במאורע $\displaystyle A$ , $\displaystyle n$ מספר התוצאות במרחב המדגם
$\displaystyle P(A)=\frac{k}{n}$
ההסתברות של כל מאורע; $\displaystyle {P(\emptyset)}={0}$ , ו- $\displaystyle {P(U)}={1}$ למרחב המדגם $\displaystyle U$
$\displaystyle 0\le P(A)\le1$
מאורע שמוכל במאורע אחר
$\displaystyle P(A)\le P(B)$ $\displaystyle A\subseteq B$
המאורע המשלים $\displaystyle \overline{A}$ – $\displaystyle A$ לא קורה
$\displaystyle P(\overline{A})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1-P(A)$
איחוד – $\displaystyle A$ או $\displaystyle B$ (או שניהם); $\displaystyle A\cap B$ – החיתוך, גם $\displaystyle A$ וגם $\displaystyle B$
$\displaystyle P(A\cup B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)+P(B)-P(A\cap B)$
מאורעות זרים – לאף שניים מהם אין תוצאה משותפת
$\displaystyle P(A_1\cup A_2\cup\dots\cup A_n)=P(A_1)+P(A_2)+\dots+P(A_n)$

הסתברות מותנית ואי־תלות

ההסתברות של $\displaystyle A$ בהינתן $\displaystyle B$
$\displaystyle P(A/B)=\frac{P(A\cap B)}{P(B)}$
מסלול בעץ – מכפלת ההסתברויות על הענפים שלו
$\displaystyle P(A\cap B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(B)\cdot P(A/B)$
מאורעות בלתי תלויים
$\displaystyle P(A\cap B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)\cdot P(B)$
מאורעות בלתי תלויים – הידיעה ש- $\displaystyle B$ קרה לא משנה את ההסתברות של $\displaystyle A$
$\displaystyle P(A/B)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P(A)$
נוסחת ההסתברות השלמה – סכום המסלולים שמסתיימים ב- $\displaystyle A$
$\displaystyle P(A)=P(B)\cdot P(A/B)+P(\overline{B})\cdot P(A/\overline{B})$

ספירה ונוסחת ברנולי

$\displaystyle n$ עצרת; $\displaystyle {0!}={1}$
$\displaystyle n!=1\cdot2\cdot3\cdot\dots\cdot n$
בחירה סדורה – $\displaystyle k$ עצמים שונים מתוך $\displaystyle n$ , בזה אחר זה
$\displaystyle n\cdot(n-1)\cdot\dots\cdot(n-k+1)=\frac{n!}{(n-k)!}$
המקדם הבינומי – מספר הדרכים לבחור $\displaystyle k$ עצמים מתוך $\displaystyle n$ , בלי חשיבות לסדר
$\displaystyle \binom{n}{k}=\frac{n!}{k!(n-k)!}$
נוסחת ברנולי – ההסתברות ל- $\displaystyle k$ הצלחות ב- $\displaystyle n$ ניסויים בלתי תלויים, כשההסתברות להצלחה בכל ניסוי היא $\displaystyle p$
$\displaystyle P_n(k)=\binom{n}{k}p^k(1-p)^{n-k}$
לפחות הצלחה אחת ב- $\displaystyle n$ ניסויים – בעזרת המאורע המשלים
$\displaystyle 1-P_n(0)=1-(1-p)^n$

נוסחאות: חשבון דיפרנציאלי, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

כללי גזירה ומשוואת המשיק

נגזרת של חזקה
$\displaystyle (x^n)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle nx^{n-1}$
נגזרת של מכפלת פונקציות
$\displaystyle [f(x)\cdot g(x)]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g'(x)$
נגזרת של מנת פונקציות
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g'(x)}{[g(x)]^2}$
נגזרת של פונקציה מורכבת – נגזרת חיצונית כפול נגזרת פנימית
$\displaystyle [f(u(x))]'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f'(u)\cdot u'(x)$
נגזרת של $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle \left(\frac{1}{x}\right)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{x^2}$
משוואת המשיק בנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ שעל הגרף
$\displaystyle y-y_1=f'(x_1)(x-x_1)$

הנגזרת השנייה

הנגזרת השנייה – הנגזרת של הנגזרת
$\displaystyle f''(x)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \left(f'(x)\right)'$
הפונקציה קעורה כלפי מעלה ( $\displaystyle \cup$ )
$\displaystyle f''(x)>0$
הפונקציה קעורה כלפי מטה ( $\displaystyle \cap$ )
$\displaystyle f''(x)<0$
נקודה חשודה כנקודת פיתול – בודקים שהסימן של $\displaystyle f''$ מתחלף בה
$\displaystyle f''(x_0)=0$
נקודת מינימום
$\displaystyle f'(x_0)=0,\ f''(x_0)>0$
נקודת מקסימום
$\displaystyle f'(x_0)=0,\ f''(x_0)<0$
התאוצה – הנגזרת של המהירות
$\displaystyle a(t)=v'(t)=s''(t)$

אסימפטוטות

אסימפטוטה אנכית – $\displaystyle f(x)$ גדל או קטן בלי סוף כש־ $\displaystyle x$ מתקרב ל־ $\displaystyle a$
$\displaystyle x=a$
אסימפטוטה אופקית – $\displaystyle f(x)$ מתקרב ל־ $\displaystyle b$ כש־ $\displaystyle x\to\infty$ או כש־ $\displaystyle x\to-\infty$
$\displaystyle y=b$

שורשים

שורש של ריבוע
$\displaystyle \sqrt{x^2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |x|$
נגזרת של $\displaystyle \sqrt{x}$
$\displaystyle (\sqrt{x})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{x}}$ $\displaystyle x>0$
נגזרת של שורש של פונקציה
$\displaystyle (\sqrt{f(x)})'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f'(x)}{2\sqrt{f(x)}}$ $\displaystyle f(x)>0$

רדיאנים ומחזוריות

חצי סיבוב ברדיאנים
$\displaystyle \pi$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 180^{\circ}$
אורך קשת של $\displaystyle \alpha$ רדיאנים במעגל שרדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle l$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \alpha R$
המחזור של $\displaystyle \sin x$ ושל $\displaystyle \cos x$ הוא $\displaystyle 2\pi$
$\displaystyle \sin(x+2\pi)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin x$
המחזור של $\displaystyle \tan x$ הוא $\displaystyle \pi$
$\displaystyle \tan(x+\pi)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \tan x$
הגבול שממנו נגזרת הנגזרת של $\displaystyle \sin x$ ( $\displaystyle x$ ברדיאנים)
$\displaystyle \lim_{x\to0}\frac{\sin x}{x}=1$

זהויות טריגונומטריות

זהות פיתגורס
$\displaystyle \sin^2\alpha+\cos^2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$
טנגנס
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\sin\alpha}{\cos\alpha}$
סינוס – פונקציה אי־זוגית
$\displaystyle \sin(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin\alpha$
קוסינוס – פונקציה זוגית
$\displaystyle \cos(-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos\alpha$
סינוס של הזווית המשלימה ל־ $\displaystyle \pi$
$\displaystyle \sin(\pi-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
קוסינוס של הזווית המשלימה ל־ $\displaystyle \frac{\pi}{2}$
$\displaystyle \cos\left(\frac{\pi}{2}-\alpha\right)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha$
סינוס של זווית כפולה
$\displaystyle \sin2\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\sin\alpha\cdot\cos\alpha$
קוסינוס של זווית כפולה
$\displaystyle \cos2\alpha=\cos^2\alpha-\sin^2\alpha=2\cos^2\alpha-1=1-2\sin^2\alpha$
הפרש סינוסים
$\displaystyle \sin\alpha-\sin\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\cos\frac{\alpha+\beta}{2}\cdot\sin\frac{\alpha-\beta}{2}$
סינוס של סכום ושל הפרש זוויות
$\displaystyle \sin(\alpha\pm\beta)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sin\alpha\cdot\cos\beta\pm\cos\alpha\cdot\sin\beta$

נגזרות של פונקציות טריגונומטריות

נגזרת של סינוס ( $\displaystyle x$ ברדיאנים)
$\displaystyle (\sin x)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \cos x$
נגזרת של קוסינוס
$\displaystyle (\cos x)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\sin x$
נגזרת של טנגנס
$\displaystyle (\tan x)'$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\cos^2x}$

נוסחאות: חשבון אינטגרלי, כיתה י"א (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

אינטגרלים מיידיים

האינטגרל הלא מסוים – כל הפונקציות הקדומות
$\displaystyle \int f(x)\,dx=F(x)+C$ $\displaystyle F^{\prime}(x)=f(x)$
חזקה
$\displaystyle \int x^{n}\,dx=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C$ $\displaystyle n\neq-1$
קבוע
$\displaystyle \int k\,dx=kx+C$
$\displaystyle \int\frac{1}{x^{2}}\,dx=-\frac{1}{x}+C$
אחד חלקי שורש
$\displaystyle \int\frac{1}{\sqrt{x}}\,dx=2\sqrt{x}+C$
שורש
$\displaystyle \int\sqrt{x}\,dx=\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C$

כללי האינטגרציה

כפל בקבוע
$\displaystyle \int k\cdot f(x)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle k\int f(x)\,dx$
סכום והפרש
$\displaystyle \int\left(f(x)\pm g(x)\right)dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int f(x)\,dx\pm\int g(x)\,dx$
פונקציה פנימית לינארית
$\displaystyle \int f(mx+b)\,dx=\frac{1}{m}F(mx+b)+C$ $\displaystyle m\neq0$
פונקציה מורכבת כפול הנגזרת הפנימית
$\displaystyle \int f(u(x))\cdot u^{\prime}(x)\,dx=F(u(x))+C$
חזקה של פונקציה כפול הנגזרת שלה
$\displaystyle \int\left(u(x)\right)^{n}\cdot u^{\prime}(x)\,dx=\frac{\left(u(x)\right)^{n+1}}{n+1}+C$ $\displaystyle n\neq-1$

פונקציות טריגונומטריות (ברדיאנים)

$\displaystyle \int\cos x\,dx=\sin x+C$
$\displaystyle \int\sin x\,dx=-\cos x+C$
$\displaystyle \int\frac{1}{\cos^{2}x}\,dx=\tan x+C$
מ- $\displaystyle {\cos2x}={1-2\sin^2x}$
$\displaystyle \sin^{2}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1-\cos2x}{2}$
מ- $\displaystyle {\cos2x}={2\cos^2x-1}$
$\displaystyle \cos^{2}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1+\cos2x}{2}$
מ- $\displaystyle {\sin2x}={2\sin x\cos x}$
$\displaystyle \sin x\cos x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\sin2x$
מ- $\displaystyle {\sin^2x+\cos^2x}={1}$
$\displaystyle \tan^{2}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\cos^{2}x}-1$

פונקציית ההצטברות והאינטגרל המסוים

פונקציית ההצטברות של $\displaystyle f$ מ- $\displaystyle a$
$\displaystyle F_{a}(x)=\int_{a}^{x}f(t)\,dt$
המשפט היסודי
$\displaystyle F_{a}^{\prime}(x)=f(x)$
האינטגרל המסוים, $\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
אותו גבול
$\displaystyle \int_{a}^{a}f(x)\,dx=0$
החלפת הגבולות
$\displaystyle \int_{b}^{a}f(x)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\int_{a}^{b}f(x)\,dx$
חיבור תחומים
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx+\int_{b}^{c}f(x)\,dx$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \int_{a}^{c}f(x)\,dx$

שטחים והצטברות

שטח מעל ציר ה- $\displaystyle x$
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ $\displaystyle f(x)\geq0$
שטח מתחת לציר ה- $\displaystyle x$
$\displaystyle S=-\int_{a}^{b}f(x)\,dx$ $\displaystyle f(x)\leq0$
שטח בין שני גרפים
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$
ההעתק לפי המהירות
$\displaystyle s(b)-s(a)=\int_{a}^{b}v(t)\,dt$

נוסחאות: מדע וחברה, כיתה י"ב (3 יח"ל)

פתיחה בעמוד

מודל ריבועי

מודל ריבועי – $\displaystyle a<0$ : יש נקודה גבוהה ביותר, $\displaystyle a>0$ : יש נקודה נמוכה ביותר
$\displaystyle y=ax^{2}+bx+c$ $\displaystyle a\neq0$
ה- $\displaystyle x$ של הקודקוד – ציר הסימטריה
$\displaystyle x=-\frac{b}{2a}$
ה- $\displaystyle x$ של הקודקוד – באמצע בין שני ערכי $\displaystyle x$ שיש להם אותו $\displaystyle y$
$\displaystyle x=\frac{x_1+x_2}{2}$
נוסחת השורשים של $\displaystyle {ax^{2}+bx+c}={0}$ – נקודות האפס
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

מודלים נוספים

קשר קווי – ההפרשים בטבלה שווים
$\displaystyle y=mx+b$
קשר מעריכי – היחס בין שני ערכים סמוכים בטבלה קבוע, $\displaystyle b$
$\displaystyle y=a\cdot b^{x}$

ההתפלגות הנורמלית

סטיית התקן של $\displaystyle n$ נתונים – $\displaystyle \bar{x}$ הממוצע שלהם
$\displaystyle \sigma=\sqrt{\frac{(x_1-\bar{x})^{2}+(x_2-\bar{x})^{2}+\dots+(x_n-\bar{x})^{2}}{n}}$
בהתפלגות נורמלית – $\displaystyle \mu$ הממוצע, $\displaystyle \sigma$ סטיית התקן: כ-68% מהנתונים בטווח של סטיית תקן אחת מהממוצע (34% מכל צד)
$\displaystyle P(\mu-\sigma<x<\mu+\sigma)\approx68\%$
כ-95% בטווח של שתי סטיות תקן מהממוצע (עוד 13.5% מכל צד)
$\displaystyle P(\mu-2\sigma<x<\mu+2\sigma)\approx95\%$
כ-2.5% מעל $\displaystyle \mu+2\sigma$ , וכ-2.5% מתחת ל- $\displaystyle \mu-2\sigma$
$\displaystyle P(x>\mu+2\sigma)\approx2.5\%$
כמה נתונים מתוך $\displaystyle n$ הם $\displaystyle p$ אחוזים מהם
$\displaystyle n\cdot p\%$

ציון תקן

ציון התקן של הערך $\displaystyle x$ – בכמה סטיות תקן הוא גדול מהממוצע (או קטן ממנו, כש- $\displaystyle z<0$ )
$\displaystyle z=\frac{x-\mu}{\sigma}$
הערך שציון התקן שלו $\displaystyle z$
$\displaystyle x=\mu+z\cdot\sigma$

נוסחאות: התמצאות במישור ובמרחב, כיתה י"ב (3 יח"ל)

פתיחה בעמוד

התיבה והקובייה

נפח התיבה – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ שלושת המימדים
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle abc$
שטח הפנים של התיבה – שלושה זוגות של פאות שוות
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2(ab+ac+bc)$
נפח הקובייה – $\displaystyle a$ המקצוע
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^3$
שטח הפנים של הקובייה – שש פאות ריבועיות
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 6a^2$

המנסרה

נפח המנסרה – $\displaystyle B$ שטח הבסיס, $\displaystyle h$ הגובה (המרחק בין הבסיסים)
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle B\cdot h$
שטח המעטפת – $\displaystyle P$ ההיקף של הבסיס
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P\cdot h$
שטח הפנים – שני הבסיסים והמעטפת
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2B+M$

הגליל

נפח הגליל – $\displaystyle r$ רדיוס הבסיס, $\displaystyle h$ הגובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi r^2h$
שטח המעטפת – מלבן שאורכו היקף הבסיס
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\pi rh$
שטח הפנים – שני הבסיסים והמעטפת
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\pi r^2+2\pi rh$

הפירמידה והחרוט

נפח הפירמידה – שליש מנפח המנסרה שיש לה אותו בסיס ואותו גובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{B\cdot h}{3}$
בפירמידה ריבועית – $\displaystyle k$ הגובה של פאה צדדית, $\displaystyle h$ גובה הפירמידה, $\displaystyle a$ צלע הבסיס
$\displaystyle k^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle h^2+\left(\frac{a}{2}\right)^2$
שטח הפנים של פירמידה ריבועית – הבסיס וארבעה משולשים
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+2ak$
נפח החרוט – שליש מנפח הגליל שיש לו אותו בסיס ואותו גובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\pi r^2h}{3}$
הקו היוצר $\displaystyle l$ – היתר במשולש שהניצבים שלו הרדיוס $\displaystyle r$ והגובה $\displaystyle h$
$\displaystyle l^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle r^2+h^2$
שטח המעטפת של החרוט
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi rl$
שטח הפנים של החרוט – הבסיס והמעטפת
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi r^2+\pi rl$

הכדור

נפח הכדור – $\displaystyle r$ הרדיוס
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{4\pi r^3}{3}$
שטח הפנים של הכדור
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\pi r^2$

אלכסונים ומרחקים

אלכסון התיבה $\displaystyle d$ – $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$ שלושת המימדים
$\displaystyle d^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+b^2+c^2$
אלכסון הקובייה – $\displaystyle a$ המקצוע
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a\sqrt{3}$
בפירמידה ריבועית – $\displaystyle s$ מקצוע צדדי, $\displaystyle h$ הגובה, $\displaystyle a$ צלע הבסיס
$\displaystyle s^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle h^2+\frac{a^2}{2}$

טריגונומטריה במשולש ישר זווית

$\displaystyle a$ הניצב שמול הזווית $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle \sin\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{c}$
$\displaystyle b$ הניצב שליד הזווית $\displaystyle \alpha$
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{b}{c}$
הניצב שמול הזווית חלקי הניצב שלידה
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{b}$
הזווית, כשידועים שני הניצבים
$\displaystyle \alpha=\tan^{-1}\left(\frac{a}{b}\right)$

המסלול הקצר ביותר על פני תיבה

מסלול מקודקוד אל הקודקוד הרחוק ממנו, על פני שתי פאות: אחרי הפריסה, האלכסון של מלבן שהצלעות שלו $\displaystyle a+b$ ו- $\displaystyle c$
$\displaystyle p^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (a+b)^2+c^2$

נוסחאות: כלכלה ופיננסים, כיתה י"ב (3 יח"ל)

פתיחה בעמוד

הכנסה ורווח: מודל ריבועי

ההכנסה – $\displaystyle p$ המחיר של יחידה, $\displaystyle q$ מספר היחידות שנמכרו
$\displaystyle R=p\cdot q$
הרווח – ההכנסה פחות העלות
$\displaystyle P=R-C$
פרבולה – ההכנסה או הרווח כפונקציה של המחיר
$\displaystyle y=ax^{2}+bx+c$
שיעור ה- $\displaystyle x$ של הקודקוד – שם ההכנסה או הרווח הגדולים ביותר (כש- $\displaystyle a<0$ )
$\displaystyle x=-\frac{b}{2a}$ $\displaystyle a\neq0$
נוסחת השורשים – המחירים שבהם ההכנסה או הרווח שווים 0
$\displaystyle x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$

תכנון לינארי

אילוץ – אי־שוויון; הנקודות שמקיימות אותו הן חצי מישור
$\displaystyle ax+by\le c$
פונקציית המטרה – הרווח הגדול ביותר נמצא באחת מנקודות הקודקוד של תחום האפשרויות
$\displaystyle P=ax+by$

הנדסה אנליטית

המרחק בין הנקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle d=\sqrt{(x_2-x_1)^{2}+(y_2-y_1)^{2}}$
אמצע הקטע בין שתי הנקודות
$\displaystyle M=\left(\frac{x_1+x_2}{2},\frac{y_1+y_2}{2}\right)$
השיפוע של הישר דרך שתי הנקודות
$\displaystyle m=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$
משוואת הישר דרך הנקודה $\displaystyle (x_1,y_1)$ בשיפוע $\displaystyle m$
$\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)$
ישרים מקבילים – אותו שיפוע
$\displaystyle m_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle m_2$

ההתפלגות הנורמלית

בהתפלגות נורמלית – $\displaystyle \mu$ הממוצע, $\displaystyle \sigma$ סטיית התקן: כ-68% מהנתונים בטווח של סטיית תקן אחת מהממוצע (34% מכל צד)
$\displaystyle P(\mu-\sigma<x<\mu+\sigma)\approx68\%$
כ-95% בטווח של שתי סטיות תקן מהממוצע (עוד 13.5% מכל צד)
$\displaystyle P(\mu-2\sigma<x<\mu+2\sigma)\approx95\%$
כ-2.5% מעל $\displaystyle \mu+2\sigma$ , וכ-2.5% מתחת ל- $\displaystyle \mu-2\sigma$
$\displaystyle P(x>\mu+2\sigma)\approx2.5\%$
ציון התקן של הערך $\displaystyle x$ – בכמה סטיות תקן הוא גדול מהממוצע (או קטן ממנו, כש- $\displaystyle z<0$ )
$\displaystyle z=\frac{x-\mu}{\sigma}$
הערך שציון התקן שלו $\displaystyle z$
$\displaystyle x=\mu+z\cdot\sigma$

נוסחאות: פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

חזקות

מכפלת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{x}\cdot a^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x+y}$
מנת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle \frac{a^{x}}{a^{y}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x-y}$
חזקה של חזקה
$\displaystyle (a^{x})^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x\cdot y}$
חזקה של מכפלה
$\displaystyle (a\cdot b)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot b^{x}$
חזקה של מנה
$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{x}}{b^{x}}$
מעריך שלילי
$\displaystyle a^{-x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^{x}}$
מעריך 0
$\displaystyle a^{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$
מעריך רציונלי
$\displaystyle a^{\frac{m}{n}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt[n]{a^{m}}$ $\displaystyle a>0$

לוגריתמים (לפי תחום ההגדרה)

הגדרת הלוגריתם
$\displaystyle \log_{a}x=b\iff a^{b}=x$ $\displaystyle a>0,\ a\neq1,\ x>0$
$\displaystyle \log_{a}(a^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b$
$\displaystyle a^{\log_{a}x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x$
לוגריתם של מכפלה
$\displaystyle \log_{a}x+\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}(x\cdot y)$
לוגריתם של מנה
$\displaystyle \log_{a}x-\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)$
לוגריתם של חזקה
$\displaystyle \log_{a}(x^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\cdot\log_{a}x$
הלוגריתם הטבעי – לפי הבסיס $\displaystyle e$
$\displaystyle \ln x=\log_{e}x$

גדילה ודעיכה

הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן
$\displaystyle f(t)=f(0)\cdot q^{t}$
מקדם הגדילה / הדעיכה – $\displaystyle p$ האחוז ביחידת זמן
$\displaystyle q=1\pm\frac{p}{100}$
זמן מחצית חיים $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}$

נגזרות

$\displaystyle (e^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x}$
$\displaystyle (\ln x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x}$
נגזרת של $\displaystyle e^{f(x)}$
$\displaystyle \left[e^{f(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{f(x)}\cdot f^{\prime}(x)$
נגזרת של $\displaystyle \ln(f(x))$
$\displaystyle \left[\ln(f(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle \left[f(x)\cdot g(x)\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime}(x)$
נגזרת של מנה
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime}(x)}{\left[g(x)\right]^{2}}$
נגזרת של פונקציה מורכבת
$\displaystyle \left[f(u(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(u)\cdot u^{\prime}(x)$
משוואת המשיק בנקודה שבה $\displaystyle {x}={a}$
$\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)$

אינטגרלים ושטח

$\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C$
$\displaystyle \int e^{mx+b}\,dx=\frac{e^{mx+b}}{m}+C$ $\displaystyle m\neq0$
בכל תחום שבו $\displaystyle x\neq0$
$\displaystyle \int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$
$\displaystyle \int\frac{1}{mx+b}\,dx=\frac{\ln|mx+b|}{m}+C$ $\displaystyle m\neq0$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
השטח בין שני גרפים
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$

נוסחאות: גאומטריה במרחב ווקטורים, כיתה י"ב (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

המשולש ישר הזווית ושטח משולש

משפט פיתגורס – $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle a^2+b^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle c^2$
$\displaystyle a$ הניצב שמול הזווית $\displaystyle \alpha$ , $\displaystyle c$ היתר
$\displaystyle \sin\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{c}$
$\displaystyle b$ הניצב שליד הזווית $\displaystyle \alpha$
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{b}{c}$
הניצב שמול הזווית חלקי הניצב שלידה
$\displaystyle \tan\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a}{b}$
הקוסינוס של זווית קהה
$\displaystyle \cos(180^{\circ}-\alpha)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\cos\alpha$
שטח משולש – שתי צלעות והזווית ביניהן
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

המנסרה

שטח הפנים – המעטפת ושני הבסיסים; $\displaystyle B$ שטח הבסיס
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M+2B$
שטח המעטפת של מנסרה ישרה – $\displaystyle P$ היקף הבסיס, $\displaystyle h$ הגובה
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle P\cdot h$
נפח המנסרה – $\displaystyle h$ הגובה, המרחק בין הבסיסים
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle B\cdot h$

הפירמידה

שטח הפנים – המעטפת והבסיס
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle M+B$
נפח הפירמידה – שליש מנפח המנסרה שיש לה אותו בסיס ואותו גובה
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{B\cdot h}{3}$

וקטורים בגישה גאומטרית

כלל המשולש
$\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{AC}$
הפרש של שני וקטורים שיוצאים מאותה נקודה
$\displaystyle \overrightarrow{AD}-\overrightarrow{AB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{BD}$
וקטורים קולינאריים
$\displaystyle \vec{v}=t\cdot\vec{u}$
צירוף לינארי של $\displaystyle \vec{u}$ ו- $\displaystyle \vec{v}$
$\displaystyle \vec{w}=s\vec{u}+t\vec{v}$

וקטורים בהצגה אלגברית

וקטור בין שתי נקודות – הסוף פחות ההתחלה
$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (x_B-x_A,\ y_B-y_A,\ z_B-z_A)$
אורך וקטור
$\displaystyle |\vec{u}|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{x^2+y^2+z^2}$
אמצע הקטע $\displaystyle AB$
$\displaystyle M=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2},\frac{z_A+z_B}{2}\right)$

המכפלה הסקלרית

ההגדרה – $\displaystyle \alpha$ הזווית בין הווקטורים
$\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |\vec{u}|\cdot|\vec{v}|\cdot\cos\alpha$
בהצגה אלגברית
$\displaystyle \vec{u}\cdot\vec{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x_1x_2+y_1y_2+z_1z_2$
הזווית בין שני וקטורים
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{|\vec{u}|\cdot|\vec{v}|}$
אורך וקטור לפי המכפלה הסקלרית
$\displaystyle |\vec{u}|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{\vec{u}^2}$
מכפלה סקלרית מקוצרת
$\displaystyle (\vec{u}+\vec{v})^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vec{u}^2+2\vec{u}\cdot\vec{v}+\vec{v}^2$
מכפלה סקלרית מקוצרת
$\displaystyle (\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \vec{u}^2-\vec{v}^2$
וקטורים מאונכים
$\displaystyle \vec{u}\perp\vec{v}\iff\vec{u}\cdot\vec{v}=0$

נוסחאות: סדרות, כיתה י"ב (4 יח"ל)

פתיחה בעמוד

סדרה וסכום האיברים הראשונים

האיבר מהסכום – $\displaystyle S_n$ סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n-S_{n-1}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_n$ $\displaystyle n\geq2$
האיבר הראשון הוא הסכום של איבר אחד
$\displaystyle a_1$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S_1$

סדרה חשבונית

כלל הנסיגה – $\displaystyle d$ הפרש הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n+d$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1+(n-1)d$
הממוצע החשבוני של השכנים
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_{n-1}+a_{n+1}}{2}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(a_1+a_n)}{2}$
הסכום בלי האיבר האחרון
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{n(2a_1+(n-1)d)}{2}$

סדרה הנדסית

כלל הנסיגה – $\displaystyle q$ מנת הסדרה
$\displaystyle a_{n+1}=a_n\cdot q$
האיבר הכללי
$\displaystyle a_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_1\cdot q^{n-1}$
הממוצע ההנדסי: הריבוע של איבר הוא מכפלת שכניו
$\displaystyle a_n^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a_{n-1}\cdot a_{n+1}$ $\displaystyle n\geq2$
סכום $\displaystyle n$ האיברים הראשונים
$\displaystyle S_n$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1(q^n-1)}{q-1}$ $\displaystyle q\neq1$

סדרה הנדסית אינסופית

סכום הסדרה האינסופית
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a_1}{1-q}$ $\displaystyle -1<q<1,\ q\neq0$

נוסחאות: וקטורים, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

גופים במרחב

נפח מנסרה וגליל – $\displaystyle S$ שטח הבסיס, $\displaystyle h$ גובה הגוף
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle S\cdot h$
נפח פירמידה וחרוט – $\displaystyle S$ שטח הבסיס, $\displaystyle h$ גובה הגוף
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{S\cdot h}{3}$
שטח המעטפת של חרוט ישר – $\displaystyle R$ רדיוס הבסיס, $\displaystyle \ell$ הקו היוצר
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \pi R\ell$
נפח כדור – $\displaystyle R$ רדיוס הכדור
$\displaystyle V$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{4}{3}\pi R^3$
שטח הפנים של כדור
$\displaystyle M$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 4\pi R^2$
האלכסון של תיבה שמידותיה $\displaystyle a$ , $\displaystyle b$ , $\displaystyle c$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a^2+b^2+c^2}$

טריגונומטריה במשולש

משפט הסינוסים – $\displaystyle R$ רדיוס המעגל החוסם
$\displaystyle \frac{a}{\sin\alpha}=\frac{b}{\sin\beta}=\frac{c}{\sin\gamma}=2R$
משפט הקוסינוסים
$\displaystyle c^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^2+b^2-2ab\cos\gamma$
שטח משולש – שתי צלעות והזווית שביניהן
$\displaystyle S$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}ab\sin\gamma$

וקטורים בגישה גאומטרית

כלל המשולש
$\displaystyle \overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{AC}$
וקטור בין שתי נקודות – הסוף פחות ההתחלה
$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \overrightarrow{OB}-\overrightarrow{OA}$
וקטורים קולינאריים (מקבילים)
$\displaystyle \underline{v}=t\cdot\underline{u}$
הנקודה $\displaystyle M$ מחלקת את הקטע $\displaystyle AB$ ביחס $\displaystyle m:n$
$\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac{n}{m+n}\overrightarrow{OA}+\frac{m}{m+n}\overrightarrow{OB}$ $\displaystyle AM:MB=m:n$
$\displaystyle M$ אמצע הקטע $\displaystyle AB$
$\displaystyle \overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)$

המכפלה הסקלרית

אורך וקטור $\displaystyle {\underline{u}}={(u_1,u_2,u_3)}$
$\displaystyle |\underline{u}|=\sqrt{\underline{u}\cdot\underline{u}}=\sqrt{u_1^2+u_2^2+u_3^2}$
מכפלה סקלרית בהצגה אלגברית
$\displaystyle \underline{u}\cdot\underline{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle u_1v_1+u_2v_2+u_3v_3$
מכפלה סקלרית – $\displaystyle \alpha$ הזווית בין הווקטורים
$\displaystyle \underline{u}\cdot\underline{v}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |\underline{u}|\cdot|\underline{v}|\cdot\cos\alpha$
וקטורים מאונכים
$\displaystyle \underline{u}\perp\underline{v}\iff\underline{u}\cdot\underline{v}=0$
מכפלה סקלרית מקוצרת
$\displaystyle (\underline{u}+\underline{v})^2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \underline{u}^2+2\underline{u}\cdot\underline{v}+\underline{v}^2$

נקודות ווקטורים במערכת צירים

וקטור בין שתי נקודות
$\displaystyle \overrightarrow{AB}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (x_B-x_A,\ y_B-y_A,\ z_B-z_A)$
המרחק בין שתי נקודות
$\displaystyle AB$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_B-x_A)^2+(y_B-y_A)^2+(z_B-z_A)^2}$
אמצע הקטע $\displaystyle AB$
$\displaystyle M=\left(\frac{x_A+x_B}{2},\frac{y_A+y_B}{2},\frac{z_A+z_B}{2}\right)$

ישר ומישור

ישר – $\displaystyle \underline{v}$ נקודה על הישר, $\displaystyle \underline{u}$ וקטור הכיוון
$\displaystyle \underline{x}=\underline{v}+t\cdot\underline{u}$
מישור בהצגה פרמטרית – $\displaystyle \underline{u}$ , $\displaystyle \underline{v}$ אינם מקבילים
$\displaystyle \underline{x}=\underline{p}+t\cdot\underline{u}+s\cdot\underline{v}$
משוואת מישור – $\displaystyle {\underline{n}}={(a,b,c)}$ וקטור הנורמל
$\displaystyle ax+by+cz+d=0$
המישור שעובר דרך $\displaystyle P(x_1,y_1,z_1)$ ווקטור הנורמל שלו $\displaystyle (a,b,c)$
$\displaystyle a(x-x_1)+b(y-y_1)+c(z-z_1)=0$

מרחקים

המרחק של נקודה $\displaystyle P(x_1,y_1,z_1)$ ממישור $\displaystyle {ax+by+cz+d}={0}$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|a\cdot x_1+b\cdot y_1+c\cdot z_1+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$
המרחק בין המישורים המקבילים $\displaystyle {ax+by+cz+d_1}={0}$ ו- $\displaystyle {ax+by+cz+d_2}={0}$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|d_1-d_2|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}$

זוויות

הזווית בין שני ישרים – $\displaystyle \underline{u}$ , $\displaystyle \underline{v}$ וקטורי הכיוון
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|\underline{u}\cdot\underline{v}|}{|\underline{u}|\cdot|\underline{v}|}$
הזווית בין הישר $\displaystyle {\underline{x}}={\underline{v}+t\cdot\underline{u}}$ למישור שהנורמל שלו $\displaystyle \underline{n}$
$\displaystyle \sin\beta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|\underline{n}\cdot\underline{u}|}{|\underline{n}|\cdot|\underline{u}|}$
הזווית בין שני מישורים – $\displaystyle \underline{n_1}$ , $\displaystyle \underline{n_2}$ הנורמלים
$\displaystyle \cos\alpha$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|\underline{n_1}\cdot\underline{n_2}|}{|\underline{n_1}|\cdot|\underline{n_2}|}$

נוסחאות: פונקציות מעריכיות ולוגריתמיות, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

חזקות

מכפלת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle a^{x}\cdot a^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x+y}$
מנת חזקות עם אותו בסיס
$\displaystyle \frac{a^{x}}{a^{y}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x-y}$
חזקה של חזקה
$\displaystyle (a^{x})^{y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x\cdot y}$
חזקה של מכפלה
$\displaystyle (a\cdot b)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot b^{x}$
חזקה של מנה
$\displaystyle \left(\frac{a}{b}\right)^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{a^{x}}{b^{x}}$
מעריך שלילי
$\displaystyle a^{-x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{a^{x}}$
מעריך 0
$\displaystyle a^{0}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 1$ $\displaystyle a\neq0$
מעריך רציונלי
$\displaystyle a^{\frac{m}{n}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt[n]{a^{m}}$ $\displaystyle a>0$

לוגריתמים (לפי תחום ההגדרה)

הגדרת הלוגריתם
$\displaystyle \log_{a}x=b\iff a^{b}=x$ $\displaystyle a>0,\ a\neq1,\ x>0$
$\displaystyle \log_{a}(a^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b$
$\displaystyle a^{\log_{a}x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle x$
לוגריתם של מכפלה
$\displaystyle \log_{a}x+\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}(x\cdot y)$
לוגריתם של מנה
$\displaystyle \log_{a}x-\log_{a}y$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \log_{a}\left(\frac{x}{y}\right)$
לוגריתם של חזקה
$\displaystyle \log_{a}(x^{b})$ $\displaystyle =$ $\displaystyle b\cdot\log_{a}x$
מעבר מבסיס לבסיס
$\displaystyle \log_{c}x$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{\log_{a}x}{\log_{a}c}$
$\displaystyle \log_{a}b$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{\log_{b}a}$
הלוגריתם הטבעי – לפי הבסיס $\displaystyle e$
$\displaystyle \ln x=\log_{e}x$

הפונקציה המעריכית והפונקציה הלוגריתמית

כל פונקציה מעריכית כחזקה של $\displaystyle e$
$\displaystyle a^{x}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x\ln a}$
$\displaystyle a^x$ ו- $\displaystyle \log_a x$ – פונקציות הפוכות
$\displaystyle y=a^{x}\iff x=\log_{a}y$ $\displaystyle y>0$
המספר $\displaystyle e$
$\displaystyle e\approx2.718$

גדילה ודעיכה

הכמות אחרי $\displaystyle t$ יחידות זמן
$\displaystyle f(t)=f(0)\cdot q^{t}$
מקדם הגדילה / הדעיכה – $\displaystyle p$ האחוז ביחידת זמן
$\displaystyle q=1\pm\frac{p}{100}$
זמן מחצית חיים $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}$
זמן הכפלה $\displaystyle T$
$\displaystyle q^{T}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2$

נגזרות

$\displaystyle (e^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{x}$
$\displaystyle (a^{x})^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{x}\cdot\ln a$
$\displaystyle (\ln x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x}$
$\displaystyle (\log_{a}x)^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{x\cdot\ln a}$
נגזרת של $\displaystyle e^{f(x)}$
$\displaystyle \left[e^{f(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle e^{f(x)}\cdot f^{\prime}(x)$
נגזרת של $\displaystyle \ln(f(x))$
$\displaystyle \left[\ln(f(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}$
נגזרת של מכפלה
$\displaystyle \left[f(x)\cdot g(x)\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(x)\cdot g(x)+f(x)\cdot g^{\prime}(x)$
נגזרת של מנה
$\displaystyle \left[\frac{f(x)}{g(x)}\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{f^{\prime}(x)\cdot g(x)-f(x)\cdot g^{\prime}(x)}{\left[g(x)\right]^{2}}$
נגזרת של פונקציה מורכבת
$\displaystyle \left[f(u(x))\right]^{\prime}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle f^{\prime}(u)\cdot u^{\prime}(x)$
משוואת המשיק בנקודה שבה $\displaystyle {x}={a}$
$\displaystyle y-f(a)=f^{\prime}(a)(x-a)$

אינטגרלים, שטח והצטברות

$\displaystyle \int e^{x}\,dx=e^{x}+C$
$\displaystyle \int a^{x}\,dx=\frac{a^{x}}{\ln a}+C$
בכל תחום שבו $\displaystyle x\neq0$
$\displaystyle \int\frac{1}{x}\,dx=\ln|x|+C$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int f(mx+b)\,dx=\frac{1}{m}F(mx+b)+C$ $\displaystyle m\neq0$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int f(u(x))\cdot u^{\prime}(x)\,dx=F(u(x))+C$
בתחום שבו $\displaystyle f(x)\neq0$
$\displaystyle \int\frac{f^{\prime}(x)}{f(x)}\,dx=\ln|f(x)|+C$
$\displaystyle F$ פונקציה קדומה של $\displaystyle f$
$\displaystyle \int_{a}^{b}f(x)\,dx=F(b)-F(a)$
השטח בין שני גרפים
$\displaystyle S=\int_{a}^{b}\left(f(x)-g(x)\right)dx$ $\displaystyle f(x)\geq g(x)$
הנגזרת של פונקציית ההצטברות
$\displaystyle \left(\int_{a}^{x}f(t)\,dt\right)^{\prime}=f(x)$

נוסחאות: גאומטריה אנליטית, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

נקודות וישרים

המרחק בין הנקודות $\displaystyle (x_1,y_1)$ ו- $\displaystyle (x_2,y_2)$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(x_1-x_2)^{2}+(y_1-y_2)^{2}}$
השיפוע של הישר שעובר דרך שתי הנקודות
$\displaystyle m$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}$ $\displaystyle x_1\neq x_2$
משוואת ישר ששיפועו $\displaystyle m$ , העובר דרך $\displaystyle (x_1,y_1)$
$\displaystyle y-y_1=m(x-x_1)$
ישרים מאונכים – $\displaystyle m_1$ , $\displaystyle m_2$ השיפועים
$\displaystyle m_1\cdot m_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -1$
הנקודה $\displaystyle C$ המחלקת את הקטע $\displaystyle AB$ ביחס $\displaystyle {AC:CB}={k:l}$ – $\displaystyle A(x_1,y_1)$ , $\displaystyle B(x_2,y_2)$
$\displaystyle C\left(\frac{lx_1+kx_2}{k+l},\frac{ly_1+ky_2}{k+l}\right)$
המרחק של הנקודה $\displaystyle (x_0,y_0)$ מהישר $\displaystyle {Ax+By+C}={0}$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|Ax_0+By_0+C|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$
המרחק בין הישרים המקבילים $\displaystyle {Ax+By+C_1}={0}$ ו- $\displaystyle {Ax+By+C_2}={0}$
$\displaystyle d$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{|C_1-C_2|}{\sqrt{A^{2}+B^{2}}}$

מעגל

משוואת מעגל שמרכזו $\displaystyle (a,b)$ ורדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle (x-a)^{2}+(y-b)^{2}=R^{2}$
המשוואה המפותחת – מעגל, כשאחרי השלמה לריבוע האגף הימני חיובי
$\displaystyle x^{2}+y^{2}+Cx+Dy+E=0$
משוואת המשיק למעגל בנקודה $\displaystyle (x_0,y_0)$ שעליו
$\displaystyle (x_0-a)(x-a)+(y_0-b)(y-b)=R^{2}$

פרבולה

פרבולה קנונית
$\displaystyle y^{2}=2px$
המוקד
$\displaystyle F\left(\frac{p}{2},0\right)$
המדריך
$\displaystyle x=-\frac{p}{2}$
משוואת המשיק בנקודה $\displaystyle (x_0,y_0)$ שעל הפרבולה
$\displaystyle y\cdot y_0=p(x+x_0)$

אליפסה

אליפסה קנונית – המוקדים על ציר ה- $\displaystyle x$ כש- $\displaystyle a>b$
$\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
המרחק של מוקד מהראשית
$\displaystyle c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a^{2}-b^{2}}$
סכום המרחקים של נקודה $\displaystyle P$ על האליפסה מהמוקדים
$\displaystyle PF_1+PF_2$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2a$

היפרבולה

היפרבולה קנונית – המוקדים על ציר ה- $\displaystyle x$
$\displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}=1$
המרחק של מוקד מהראשית
$\displaystyle c$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a^{2}+b^{2}}$
הפרש המרחקים של נקודה $\displaystyle P$ על ההיפרבולה מהמוקדים
$\displaystyle |PF_1-PF_2|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2a$
האסימפטוטות
$\displaystyle y=\pm\frac{b}{a}x$

נוסחאות: מספרים מרוכבים, כיתה י"ב (5 יח"ל)

פתיחה בעמוד

ההצגה האלגברית וארבע הפעולות

המספר $\displaystyle i$
$\displaystyle i^{2}=-1$
ההצגה האלגברית
$\displaystyle z=a+bi$ $\displaystyle a=\operatorname{Re}(z),\ b=\operatorname{Im}(z)$
שוויון בין מספרים מרוכבים
$\displaystyle a+bi=c+di\iff a=c,\ b=d$
כפל
$\displaystyle (a+bi)(c+di)$ $\displaystyle =$ $\displaystyle (ac-bd)+(ad+bc)i$
המספר הצמוד
$\displaystyle \bar{z}=a-bi$
מכפלת מספר בצמוד שלו
$\displaystyle z\cdot\bar{z}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle a^{2}+b^{2}$
חילוק – כפל בצמוד של המכנה
$\displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{z_{1}\cdot\bar{z}_{2}}{z_{2}\cdot\bar{z}_{2}}$

ערך מוחלט ומספר צמוד

הערך המוחלט – המרחק מראשית הצירים
$\displaystyle |z|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{a^{2}+b^{2}}$
המרחק בין שתי נקודות
$\displaystyle |z_{1}-z_{2}|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \sqrt{(a_{1}-a_{2})^{2}+(b_{1}-b_{2})^{2}}$
מכפלה בצמוד וערך מוחלט
$\displaystyle z\cdot\bar{z}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |z|^{2}$
הערך המוחלט של מכפלה
$\displaystyle |z_{1}\cdot z_{2}|$ $\displaystyle =$ $\displaystyle |z_{1}|\cdot|z_{2}|$
הצמוד של סכום
$\displaystyle \overline{z_{1}+z_{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \bar{z}_{1}+\bar{z}_{2}$
הצמוד של מכפלה
$\displaystyle \overline{z_{1}\cdot z_{2}}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \bar{z}_{1}\cdot\bar{z}_{2}$
סכום מספר והצמוד שלו
$\displaystyle z+\bar{z}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle 2\operatorname{Re}(z)$
אי־שוויון המשולש
$\displaystyle |z_{1}+z_{2}|\le|z_{1}|+|z_{2}|$

משוואה ריבועית

נוסחת השורשים
$\displaystyle z_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}$
סכום השורשים
$\displaystyle z_{1}+z_{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{b}{a}$
מכפלת השורשים
$\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{c}{a}$

ההצגה הקוטבית (הזוויות ברדיאנים)

ההצגה הקוטבית
$\displaystyle z=r(\cos\theta+i\sin\theta)$ $\displaystyle r=|z|$
הסימון cis
$\displaystyle r\operatorname{cis}\theta$ $\displaystyle =$ $\displaystyle r(\cos\theta+i\sin\theta)$
החלק הממשי
$\displaystyle a=r\cos\theta$
החלק המדומה
$\displaystyle b=r\sin\theta$
הזווית – לפי הרביע של הנקודה
$\displaystyle \tan\theta=\frac{b}{a}$ $\displaystyle a\neq0$
מכפלה בהצגה קוטבית
$\displaystyle z_{1}\cdot z_{2}=r_{1}\cdot r_{2}\left[\cos(\theta_{1}+\theta_{2})+i\sin(\theta_{1}+\theta_{2})\right]$
מנה בהצגה קוטבית
$\displaystyle \frac{z_{1}}{z_{2}}=\frac{r_{1}}{r_{2}}\operatorname{cis}(\theta_{1}-\theta_{2})$
משפט דה־מואבר
$\displaystyle \left[R(\cos\varphi+i\sin\varphi)\right]^{n}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle R^{n}(\cos n\varphi+i\sin n\varphi)$
פתרונות המשוואה $\displaystyle {z^n}={R(\cos\varphi+i\sin\varphi)}$
$\displaystyle z_{k}=\sqrt[n]{R}\left[\cos\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)+i\sin\left(\frac{\varphi}{n}+\frac{2k\pi}{n}\right)\right]$ $\displaystyle z^{n}=R(\cos\varphi+i\sin\varphi),\ k=0,1,\ldots,n-1$

מקומות גאומטריים וסיבוב

מעגל שמרכזו $\displaystyle z_0$ ורדיוסו $\displaystyle R$
$\displaystyle |z-z_{0}|=R$
האנך האמצעי לקטע $\displaystyle z_1z_2$
$\displaystyle |z-z_{1}|=|z-z_{2}|$
מעגל אפולוניוס
$\displaystyle |z-z_{1}|=m|z-z_{2}|$ $\displaystyle m>0,\ m\neq1$
סיבוב בזווית $\displaystyle \theta$ סביב $\displaystyle z_0$
$\displaystyle w=z_{0}+(z-z_{0})\operatorname{cis}\theta$